高考数学一轮复习 课后限时集训48 范围、最值问题（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训(四十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标1.(2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝.(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．[解](1) 点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝，∴＋＝，∴p＝2，∴C的方程为x2＝4y.(2)设直线方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，∴y1＋y2＝4k2＋2b， 线段PQ的中点的纵坐标为1，∴2k2＋b＝1，△OPQ的面积S＝·b·＝b＝·(0＜b≤1)，设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b＞0，故函数单调递增，∴b＝1时，△OPQ的面积的最大值为2.2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若AF＝2FB，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．[解](1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为AF＝2FB，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|＝＝4，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.3．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.①求的值；②求△ABQ面积的最大值．[解](1)由题意知＋＝1，1又＝，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0－λy0)．因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2.①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.设＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2.故S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由①知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.B组能力提升1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点(，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．[解](1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，即椭圆C的方程是＋＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，－2)，OE·OF＝－8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，因为0<≤10，所以－8b>0)的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且PQ＝QB.(1)求E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．[解](1)由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a＝2，B(2,0)，设Q(x0，y0)，由PQ＝QB，则代入椭圆方程，解得b2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y＝kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，由直线l与E有两个不同的交点，则Δ＞0，即(－16k)2－4×12×(1＋4k2)＞0，解得k2＞，由根与系数的关系可知x1＋x2＝，x1x2＝，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则OM·ON＞0，即x1x2＋y1y2＞0，则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx...