高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第6讲 双曲线分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第6讲双曲线一、选择题1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B．由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B．3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()A．B．C．D．解析：选D．法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝．故选D．法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP＝(1，0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝．故选D．4．(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－y2＝1D．x2－＝1解析：选D．由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1．5．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．解析：选B．因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，故10a2＝4c2，故＝，故e＝＝．6．已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线1C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A．2B．4C．D．解析：选C．由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，因为|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，所以a＝k，所以|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，所以e＝＝．二、填空题7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为____________．解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1．答案：－＝18．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝．又b2＝c2－a2，所以＝，即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝．答案：9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1．又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2．答案：210．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为________．解析：由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．答案：13三、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，－)，点M(3，m)都在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．2所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ．因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x2－y2＝6．(2)证明：设F1(－2，0)，F2(2，0)，则MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m...