考点测试54抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A.B．4C.D．5答案D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48答案C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)． 当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6.又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36.3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或B.或C.或D.答案B解析焦点坐标为，当斜率不存在时，弦长为2p＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k，所以方程为y＝k，代入y2＝6x，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0，设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＋p＝12，即＋3＝12，k2＝1.∴k＝tanα＝±1，结合x∈[0，π)，可得α＝或π.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C．2D.－1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.5．抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0D．2x－y－1＝0答案C解析 点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2.抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)．设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y＝4x1，①y＝4x2，②由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，得kBC＝＝.又 ＝0，∴y1＋y2＝－2.∴kBC＝－2.又 ＝1，∴x1＋x2＝2.∴BC中点为(1，－1)，则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.6．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为()A．－B.C.D．－答案A解析直线AB的斜率为kAB＝＝＝－1，所以y1＋y2＝－2，y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝6.线段AB的中点为＝＝，代入y＝x＋b，得b＝－.故选A.7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.答案解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝.二、高考小题9．[2015·浙江高考]如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.答案A解析过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|－1.可知＝＝＝＝，故选A.10．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析不妨设C：y2＝2px(p>0)，A(x1,2)，则x1＝＝，由题意可知|OA|＝|OD|，得2＋8＝2＋5，解得p＝4.故选B.11．[2016·四川高考]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D．1答案C解析设P(x，y)， |PM|＝2|MF|，∴＝2，又F，∴∴kOM＝＝，由题易知kOM最大时y>0，∴kOM＝＝≤＝，当且仅当x＝p时取等号．12．[2016·浙江高考]若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析设M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点F(1,0)．根据抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.13．[2016·天津高考]设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于...
