46不等式选讲1．(2014·重庆改编)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<时，y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]．2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)
－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解(1)当a＝－2时，不等式f(x)－1，则－<，∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|＝当x∈时，f(x)＝a＋1，即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．∴a＋1≤－＋3，即a≤，∴a的取值范围为.3．(2013·福建)设不等式|x－2|0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.5．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组或即或因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}．由题设可得－＝－1，故a＝2.6．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．解由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组解得因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.7．(2013·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.8．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．(1)证明由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3|x＋1|成立，求实数x的取值范围．解由柯西不等式知[12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2]≥(1·a＋·b＋·c)2即6×(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2又 a2＋2b2＋3c2＝6，∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，∴－6≤a＋2b＋3c≤6， 存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．∴|x＋1|<6，∴－7
