课时跟踪检测（七）直线与平面垂直层级一学业水平达标1．若PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：选C由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合选项B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.故选C.2．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与这条直线垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：选D易知①③④正确．3．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此②是错误的；对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.5.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点解析：选B连结BC，AB(图略)，因为PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．6.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析： PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案：47．正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．解析：作A1E⊥AD1于点E，则A1E⊥平面ABC1D1，∴∠A1C1E为A1C1与平面ABC1D1所成的角，且点E为AD1的中点，sin∠A1C1E＝＝.答案：8．在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．解析：如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．答案：∠A1C1B1＝90°(不唯一)9.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.证明： ∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC. AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．解：(1)证明： 平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM. 四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连结CF，EF. EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB. EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，tan∠CEF＝＝.∴直线EC与平面ABE所成角的正切值为.层级二应试能力达标1．平面外一条直线上有两...
