命题角度5.1：曲线与轨迹问题1.已知圆，直线（1）判断直线和圆的位置关系。（2）求圆心到直线的距离的最大值。（3）如图所示，圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹方程．【答案】（1）相交；（2）；（3）试题解析：（1） ∴∴直线经过定点P（1，-1）又 12+12<4∴（1，-1）在圆的内部∴直线与圆相交。（2）由（1）知圆心到直线的最大距离为【点睛】本题第（1）问中直线为中心直线系，对于含有参数的直线或曲线，我们可以先分析直线或曲线特征，再选择合适的方法解题，本题如果用点到直线距离公式，较复杂些。（2）第（2）利用了几何知识，在解解析几何题时，首先要考虑这是一个几何问题，看是否有几何特征，有时可以简化运算，再考虑代数方法。2.在平面内，设到定点F（0，2）和轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C，直线过点F，交曲线C于M，N两点。（1）说明曲线C的形状，并画出图形；（2）求线段MN长度的范围。【答案】曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为和顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD【解析】解：（1）设动点，由已知得：1分当时，，化简得：当时，化简得：3分如图：曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为和顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD……6分（2）当M、N在两支抛物线上时，过M、N分别作相应准线的垂线，垂足分别是M1、N1，由抛物线定义，MM1=MF；NN1=NF，设M、N的纵坐标分别为当过BD时，|MN|最小，最小值为4，当过C（或A）时，|MN|最大，此时直线的方程为和抛物线另一个交点，|MN|最大值为，|MN|范围是10分当M、N都在上支抛物线上时，易求|MN|范围也是由上综述：|MN|范围是3.在直角坐标系xOy上取两个定点再取两个动点，，且．（Ⅰ）求直线与交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过的直线与轨迹C交于P,Q，过P作轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若,求证：.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）设，由（）………………………………6分由故,………………8分要证,即证,只需证：只需即证即,………10分由（）得：，即证.……………………12分（本题亦可先证直线NQ过焦点F，再由得证）点睛：椭圆是圆锥曲线的重要而典型的代表曲线之一，求解这类问题时，充分借助题设条件与椭圆的有关知识，运用等价转化思想、函数方程思想、分类整合思想等数学思想及运算求解能力、推理论证能力等综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。4.已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）详见解【解析】试题分析：（1）设，则处的切线为，切线CD与AC,BD组方程组可求得C,D点坐标，再直线AD,BC组方程组，解点交点P轨迹方程。注意消参，需要用到点M在圆上。同时注意曲线方程变量范围。（2）设，则，与椭圆组方程组，可求得GH,同理求得，再利用进行分类讨论。试题解析：（Ⅰ）设，则处的切线为，则，，则，则；（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则，得，由于恒成立，设两个根为，则，同理，由知：，得：（3）两条直角边所在直线方程为：点睛：（1）中求轨迹方程是交轨法，只需把直线AD,BC两直线方程两边对应相乘，再代入M点在圆上，可轻松消参，求得P点轨迹方程。5.如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点（不为原点）．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）若点坐标为求的值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，利用坐标关系首先写出直线的方程，然后结合题意即可求得点的轨迹方程.(2)利用点在抛物线上，将点的坐标代入抛物线方程求解的值即可.试题解析：（Ⅰ）设点的坐标点的坐标，点的坐标为，由得由已知，得直线的方程为．又有由得．把代入并消去得得代入得，故所求点的轨迹方程为．（Ⅱ）以代入方程中，得6.已知，，边所在直线的斜率之积为定值，（1）求动点的轨迹方程...
