高考数学复习点拨 对函数单调性定义的等价解释和灵活运用VIP免费

对函数单调性定义的等价解释和灵活运用函数的单调性是函数的一个重要性质，它具有很强的应用性，如比较大小、解不等式、求最值、作图象，进行证明等都能用到单调性的定义，而对单调性定义的等价理解方便解题.由函数单调性的定义可以得到如下结论：设函数f(x)是定义在区间(a，b)上的增（减）函数，则对任意1x、2x，有：（1）若1x＞2x，则f（1x）－f（2x）＞0增函数；（2）若1x＜2x，则f（1x）－f（2x）＞0减函数；（3）（1x－2x）[f（1x）－f（2x）]＞0增函数；（4）（1x－2x）[f（1x）－f（2x）]＜0减函数；利用上面等价定义处理函数的单调性问题，有时比直接利用定义处理更简洁一、证明单调性例1求证：函数f(x)=－3x+1在（－∞，+∞）上是减函数.分析：考虑运用结论：（4）（1x－2x）[f（1x）－f（2x）]＜0减函数进行证明，只需要进行因式分解变形.证明：在（－∞，+∞）上任取两个实数1x、2x，且1x≠2x，则有(1x－2x)[f(1x)－f（2x）]=(1x－2x)(2x3－1x3)=－(1x－2x)2(1x2+1x2x+2x2)=－(1x－2x)2[222123()24xxx]＜0，即（1x－2x）[f（1x）－f（2x）]＜0，故函数f(x)=－3x+1在（－∞，+∞）上是减函数.二、讨论单调区间例2已知函数f(x)=2(0)axax，讨论函数在区间（0，+∞）上的单调性.用心爱心专心分析：涉及讨论函数单调性的问题运用结论：（1）若1x＞2x，则f（1x）－f（2x）＞0增函数；或（2）若1x＜2x，则f（1x）－f（2x）＞0减函数比较方便.解析：任取0＜1x＜2x，则f（2x）－f（1x）=2222112212112()()()xxxxaaaxxxxxx，当20xa，10xa时，2120xxa，又1x＜2x，则2x－1x＞0，所以f（2x）－f（1x）=2222112212112()()()xxxxaaaxxxxxx＜0，所以f（2x）＜f（1x），所以f(x)在（0，a]上是单调减函数.当a＜1x＜2x时，1x2x＞2a，则f（2x）－f（1x）=2222112212112()()()xxxxaaaxxxxxx＞0，f（2x）＞f（1x），所以f(x)在[a，+∞)上是单调增函数.点评：一般地函数()(0)kfxxkx在(0,]k上为减函数，在[,)k上为增函数，这个结论非常有用.三、求解不等式例3已知f(x)是定义在[－2，2]上的函数，且f(－x)=f(x)，又f(x)在[0，2]上是减函数，且f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.分析：由于f(x)在[0，2]上是减函数，考虑运用结论：（2）若1x＜2x，则f（1x）－f（2x）＞0减函数解决问题.用心爱心专心解析： f(－x)=f(x)，∴f(x)=f(|x|)，则f(1－m)=f(|1－m|)，f(m)=f(|m|)，又f(1－m)－f(m)＜0，∴f(|1－m|)－f(|m|)＜0①，又f(x)在[0，2]上是减函数，则有(|1－m|－|m|)[f(|1－m|)－f(|m|)]＜0②，由①②得|1－m|－|m|＞0.从而|1|||0|1|20||2mmmm，解得112m，因此实数m的取值范围是1[1,)2.点评：抓住当f(－x)=f(x)时，得到f(x)=f(|x|)是解决本题的突破口.四、求函数最值例4已知函数22()xxafxx，[1,)x.（1）当a=12时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意[1,)x，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将函数f(x)变形为f(x)=122xx，又定义可知[1,)x为单调增函数，对于（2）可以进合理的转化，变成二次函数的最值问题.解析：（1）当a=12时，f(x)=122xx，根据例2的结论函数在[1,)x为单调增函数（证明略），故有f(x)≥f(1)=1+12+2=72，所以函数f(x)的最小值为72.（2）在区间[1,)x上22xxax0恒成立，等价于220xxa恒成立.设g(x)=222(1)1xxaxa，这是一个二次函数，在[1,)x上单调递增，故有g(x)≥g(1)=3+a，g(x)的最小值为：3+a，只要3+a＞0，故a＞－3为用心爱心专心所求.点评：课本中已知的函数的单调性在解题中可以直接利用，已经证明过的函数的单调性的结论有时也可以直接利用，因此，常见函数的单调性要熟练掌握，能够提高解题效率.五、比较大小例5已知函数f(x)，x∈R的对称轴为x=2，当x＞2时，f(x)为增函数.设a=f(1)，b=f(4)，c=f(－2)，试确定的大小关系.分析：欲比较三者的大小关系，只需根据对称性，画出示意图形（可以类比二次函数的图形），由图形结合单调性即可.解析：因为函...