高考数学二轮复习 专题五 解析几何规范答题示范练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题五解析几何规范答题示范【典例】(12分)(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[信息提取]看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程；看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明OQ⊥PF.[规范解答](1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，………………………………………………………………………………1分由NP＝NM得：x0＝x，y0＝y，………………………………………………………………………………3分因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.………………………………………………………………………………5分(2)证明由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，………………………………………………………………………………7分OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，………………………………………………………………………………9分又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，………………………………………………………………………………11分又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.………………………………………………………………………………12分[高考状元满分心得]写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.[解题程序]第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM；第二步：由NP＝2NM，确定点P，N坐标等量关系；第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；第五步：由OQ·PF＝0，证明OQ⊥PF；第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论.【巩固提升】(2018·郑州质检)已知椭圆C：＋y2＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足OM＝λOP(λ>1，λ是常数).当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ.(1)求曲线Cλ的轨迹方程；(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值.若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由.解(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为.由于点P在椭圆C上，得＋＝1，即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为＋＝1(λ>1).(2)当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，联立方程组解得y＝±，得|AB|＝2.得S△OAB＝|OP|×|AB|＝2，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，联立方程组得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，由Δ＝0，可得m2＝4k2＋1.联立方程组得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－λ2)＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.则|AB|＝·＝，原点到直线l的距离为d＝＝，所以S△OAB＝|AB|d＝2.综上所述，△OAB的面积为定值2.