课时跟踪检测（二十四）两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数一、基本能力达标1．已知α∈，cosα＝，则cos＝()A.－B．1－C．－＋D．－1＋解析：选A∵α∈，cosα＝，∴sinα＝，∴cos＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝－.2．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是()A．α＝，β＝B．α＝，β＝C．α＝，β＝D．α＝，β＝解析：选B∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，经验证可知选项B正确．3．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC一定是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．三者都有可能解析：选C∵sinAsinB＜cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB＞0，∴cos(A＋B)＞0，∴A＋B＜90°，∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形．4．已知cosx－sinx＝－，则sin＝()A.B．－C.D．－解析：选Dcosx－sinx＝2＝2sin＝－，故sin＝－.5．已知0<α<<β<π，又sinα＝，sin(α＋β)＝，则sinβ等于()A．0B．0或C.D．±解析：选C由0<α<<β<π得，<α＋β<，又sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.6．sin15°＋cos165°的值是________．解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos120°cos45°－sin120°sin45°＝×－×－×－×＝－.答案：－7．设a＝2cos66°，b＝cos5°－sin5°，c＝2(sin47°sin66°－sin24°sin43°)，则a，b，c的大小关系是________．解析：∵b＝2cos65°，c＝2(cos43°cos24°－sin24°sin43°)＝2cos67°，∴b＞a＞c.答案：b＞a＞c8．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．解析：由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①－cosγ＝cosα＋cosβ，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ，化简得cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，即cos(α－β)＝－.答案：－9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.又∵α－β∈，α＋β∈，∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.10．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)．解：∵＜α＜，0＜β＜，∴＜＋α＜π，＜＋β＜π，又cos＝－，sin＝，∴sin＝，cos＝－，∴sin(α＋β)＝－sin＝－＝－＝.二、综合能力提升1．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC＝()A．－B.C．－D.解析：选D∵A＝，∴cosA＝sinA＝，又cosB＝，0＜B＜π，∴sinB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为()A．－B.C．－7D．7解析：选C由sin(α＋β)＝得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①由sin(α－β)＝得sinαcosβ－cosαsinβ＝，②由①②得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝－，以上两式相除得＝－7.3．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)．∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.4．若cosαcosβ＝－sinαsinβ，且α∈，β∈，则α－β的值是()A．－B．－C.D.解析：选A由题意知cos(α－β)＝，又0<α<，－π<－β<－，所以－π<α－β<0，故α－β＝－.5．已知cos＝－，则cosx＋cos＝________.解析：cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.答案：－16．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ＝________.解析：由条件知：①＋②得2cosαcosβ＝0，∴cosαcosβ＝0.答案：07．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．∴|a－b|＝＝＝＝，∴2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.8．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝>0，∴0<α－β<.所以sinα＝＝，cos(α－β)＝＝，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝×－×＝.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝.
