考点36曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、解答题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线过点B(1,0)且与x轴不重合,交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线交C1于M,N两点,过B且与垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】(1)圆A整理为(x+1)2+y2=16,点A坐标为(-1,0),如图, BE∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|,∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E的轨迹为一个椭圆,方程为+=1(y≠0);(2)C1:+=1;设:x=my+1,因为PQ⊥,设PQ:y=-m(x-1),联立与椭圆C1,得(3m2+4)y2+6my-9=0;则|MN|=|yM-yN|==;圆心A到PQ距离d==,所以|PQ|=2=2=,∴SMPNQ=|MN|·|PQ|=·==24∈[12,8).2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T20)在直角坐标系xOy中,直线:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求.(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.【解析】(1)由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,故直线ON的方程为y=x,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H,所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点.3.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T20)(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F,设l1:y=a,l2:y=b且ab≠0,A,BP,Q,R,记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,所以k1=,k2==-b,又因为ab+1=0,所以k1=,所以k1=k2,即AR∥FQ.(2)设直线AB与x轴的交点为D,所以S△ABF=,又S△PQF=,所以由题意可得S△PQF=2S△ABF即:=2×·,解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x≠1).而,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T20)(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意知F.设l1:y=a,l2:y=b,且ab≠0,则A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线方程为l,则l的直线方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记直线AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=,S△PQF=.由题设可得2×.所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D(1,0)重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.5.(2016·四川高考文科·T20)已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程.(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.【解题指南】(1)利用点在椭圆上,列出方程,解出b的值,从而得到椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合,利用根与系数的关系,进行计算.【解析】(1)由已知,a=2b,又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A,B,由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4,由Δ>0,即2-m2>0,解得-0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.(2)已知抛...
