高考数学一轮复习 课后限时集训29 等差数列及其前n项和（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训(二十九)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝()A．4B．－4C．5D．－5C[法一：由题意得解得∴a4＝a1＋3d＝5，故选C.法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4， S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又 a7＝7，∴a4＝5，故选C.]2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝()A．52B．78C．104D．208C[由a2＋a7＋a12＝24得3a7＝24，即a7＝8，∴S13＝＝13a7＝13×8＝104，故选C.]3．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝A[由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N*，则m＝()A．3B．4C．5D．6C[ {an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2.又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.又Sm＝＝＝0，∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.]5．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤A[依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.]二、填空题6．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.22[ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.]7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.10[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.]8．(2019·青岛模拟)若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.[由题意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.]三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.[解](1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.10．(2019·长春模拟)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.[解](1)设{an}的公差为d.由题意，得a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.B组能力提升1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列C[an＝n＋a1－1，∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1，∴a2n－1＋2a2n＝6n＋3a1－4.因此数列{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列，故选C.]2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？()A．9日B．8日C．16日D．12日A[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝1...