第20讲含否定概念的问题的解答【知识要点】在解答数学问题时，经常遇到含有否定概念的问题，这些问题的解答常用的方法有直接法、反证法和补集法.【方法讲评】方法一直接法解题步骤直接按照题目的要求进行分析解答.【例1】已知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．【点评】函数在区间不单调，即说明函数在区间内存在极值点，所以我们可以先求出函数的极值点，然后解不等式即可。如果有两个极值点同时必须满足或，且，因为当时，函数在区间没有极值点，函数是单调的，所以必须加上.【反馈检测1】已知函数和（1）若函数在区间不单调，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的最大值.【反馈检测2】已知函数，，其中．设函数．若在区间上不单调，求的取值范围.方法二补集法解题步骤先探讨结论的反面，得到一个结论，再利用补集的思想得到原结论的答案.【例2】已知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．(2)当函数在上单调递减时，在上恒成立。令即在上的当当【点评】因为函数在的反面是函数在上单调，即函数在上单调递增或单调递减。所以我们可以先求出函数在单调递增或单调递减时参数的范围，最后求在参数取值全集上的补集即可。我们称这种方法为“补集法”。【反馈检测3】已知函数.如果函数在区间不单调，求的取值范围.方法三反证法解题步骤先假设结论不成立，结论的反面成立；再通过推理，找到矛盾；最后得到假设不成立，原命题成立.【例3】等差数列{an}的前n项和为sn，，．（1）求数列{an}的通项an与前n项和为sn；（2）设（n∈N+），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）由已知得，∴d=2，故．（2）由（Ⅰ）得．假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq2=bpbr．即．【点评】(1)本题证明的命题中含有否定概念“不可能”，不宜直接证明，所以选用反证法.(2)反证法的矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与我们学过的定理等矛盾.（3）含有“至少”“至多”等概念的命题也可以使用反证法.【反馈检测4】已知，求证：至少有一个不大于高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第20讲：含否定概念的问题的解答参考答案【反馈检测1答案】(1);(2).（2）令依题可知在上恒成立，令=，有且①当即时，因为，所以所以函数即在上单调递增，又由故当时，，所以在上单调递增又因为，所以在上恒成立，满足题意；②当即时，当，，函数即单调递减，又由，所以当，所以在上单调递减，又因为，所以时，这与题意在上恒成立相矛盾，故舍.综上，即的最大值是.【反馈检测2答案】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】假设函数在区间单调递减，所以.假设函数在区间单调递增，所以.所以如果函数在区间单调，则.因为时，函数在区间不单调.【反馈检测4答案】见解析所以至少有一个不大于.
