考点38抛物线一、选择题1.(2015·浙江高考理科·T5)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.【解题指南】利用抛物线的定义求解.【解析】选A.2.(2015·陕西高考文科·T3)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)【解题指南】利用抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),求得=1,即可求出抛物线焦点坐标.【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).二、填空题3.(2015·陕西高考理科·T14)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:2三、解答题4.(2015·浙江高考文科·T19)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标.(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.【解题指南】(1)设出直线PA的方程,通过联立方程,判别式为零,得到点A的坐标;根据圆的性质,利用点关于直线对称,得到点B的坐标;(2)利用两点间距离公式及点到直线的距离公式,得到三角形的底边长与底边上的高,由此计算三角形的面积.【解析】（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为，所以消去整理得：因为直线PA与抛物线相切，所以，解得.所以，即点.设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，解得.即点.(2)由(1)知，，直线AP的方程为，所以点B到直线PA的距离为.所以的面积为.5.(2015·福建高考文科·T19)(本小题满分12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程.(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.【解题指南】(1)用抛物线的焦半径公式.(2)证出kGA=-kGB即∠AGF=∠BGF.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得解得或，从而.又G(-1,0),所以所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为，从而.又直线GB的方程为，所以点F到直线GB的距离.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
