第7讲离散型随机变量的均值与方差一、选择题1．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于()A.B.C．3D.解析因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.答案D2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()．A．100B．200C．300D．400解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.答案B3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012P－pp则E(ξ)的最大值为()．A．1B.C.D．2解析由p≥0，－p≥0，则0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤.答案B4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()．A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为()．A.B.C.D.解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0
D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)D(ξ2)．答案A二、填空题7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案0.48．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案29．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.解析每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2.答案210．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B，从而有E(ξ)＝np＝4×＝.答案三、解答题11．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．2现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1...
