课下层级训练(四十八)双曲线[A级基础强化训练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A[已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1.]2．(2019·山东菏泽月考)已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点坐标为()A．(±5,0)B．(±，0)C．(0，±5)D．(0，±)【答案】C[由方程C：－＝1表示双曲线，焦点坐标在y轴上，可知，a2＝16，b2＝9.则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．]3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．B．2C．D．2【答案】D[由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2.]4．(2019·山东邹城检测)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4),则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】A[ 双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴－＝－4，＝，e＝＝＝.]5．(2019·山东青岛调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【答案】D[双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝＝2,2＝⇒＝3，＝.故渐近线方程为y＝±x＝±x.]6．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】C[如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3．又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝．∴双曲线的方程为－＝1.]7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝____________；b＝____________．【答案】12[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2．又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]8．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为____________．【答案】2[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.]9．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为____________．【答案】10[由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.]10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0．【答案】(1)解 e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线的方程为x2－y2＝6．(2)证明证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝－． 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即MF1·MF2＝0．证法二：由证法一知MF1＝(－3－2，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， 点M在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1·MF2＝0．[B级能力提升训练]11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．B．3C．2D．4【答案】B[由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x．设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝．则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.]12．(2019·湖北武汉调研)已知不等式3x...
