落实三点掌握映射胡彬理解好映射是掌握函数概念的基础，因为函数是一种特殊的映射。不吃透映射的定义而去单纯地理解函数那是不科学的，也是不可取的。那样势必会对我们今后学习、研究函数带来许多隐患，所以要想学好函数首先要掌握好映射。第一点，理解映射。映射的概念：设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一一个元素与它对应，这样的对应叫做从A到B的映射，记为f：A→B。（1）从映射的意义可以看出，集合A中任何一个元素在B中都要有唯一一个元素与其对应，允许集合A中不同的元素（原象）在集合B中有同一元素（象）与其对应，允许B中的元素没有A中的元素与其对应。（2）应当认识到映射中所涉及的两集合是非空集合，也就是说不能为空集。（3）映射是一种特殊的对应。能构成对应的有一对一、多对一、一对一余（B中有多余元素）、多对一余（B中有多余元素）这四种，注意一对多和一对多余不能构成映射。（4）映射是由集合A，B以及从A到B的对应法则f所确定的。（5）一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A任何一个元素a对应着集合B中的一个元素b，b叫做a在f下的象，并且a的象是唯一的。a叫做b的原象，b的原象不要求唯一。例如，设集合A={0，1，2}，B=，对应法则f是“取倒数”，这时由于A中的元素0无象，所以A、B、f不能构成映射。但对于映射来说，A中两个（或多个）元素可以允许有相同的象。例如，设集合A={2，-2，3，4}，B={4，9，16}，对应法则f是“取平方”，这时A中的元素2和-2都对应B中的元素4，A、B、f构成映射。（6）不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可以有些元素不是集合A中的元素的象。例如，集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8}，对应法则是“加2”，B中的元素7，8不是A中元素的象，但A、B、f构成映射。（7）在一个映射中，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合。集合A，B也可以是同一集合，但在确定的映射中，A，B的地位一般是不要求对等的。第二点，学会判断一个对应是否为映射。判断一个对应是否是A到B的映射，应考查两个方面：①集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素，即A中的元素不能有剩余，但B中的元素可以有剩余；②集合A中的元素在集合B中是否只有一个对应元素，即A中不能有任何一个元素也对应着B中的多个元素。例1.下列对应是不是从A到B的映射？（1）（2）（3）（4）（5）设A={矩形}，B=R，对应法则f为矩形到它的面积的对应。（6）设A=R，，对应法则f为。解析：（1）不是。当，即A中的元素3在B中没有元素和它对应，所以（1）不是映射。用心爱心专心（2）是。由，知对任意的x，总有，又当时，必为整数，即。对A中的每一个元素x，在B中都有唯一的y与之对应，（2）是映射。（3）是。对于R中任何一个元素x，在B中都有唯一的数0或1对应，故（3）是映射。（4）不是。因为任一个x都有两个y与之对应，故（4）不是映射。（5）是。对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，故（5）是映射。（6）不是。因为时，集合B中没有元素与之对应，故（6）不是映射。第三点，运用映射定义解决问题。例2.设A={1，2，3，m}、B={4，7，}，对应法则是从集合A到集合B的映射。已知，1的象是4，7的原象是2。试求p，q，m，n的值。解析：由1的象是4，7的原象是2，可列方程组：解得故对应法则。由此判断A中元素3的象10要么是，要么是。若，因不可能，所以，解得（舍去），。又集合A中的元素m的象只能是且等于16，即。故。点评：解决本题关键要深刻理解映射的定义，搞清象和原象的概念。感悟与提高函数是单调函数的充要条件是（）A.B.C.D.答案提示：，由题意得，所以，选A。用心爱心专心
