考点36椭圆（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在轴上焦点在轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1.设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2.已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a.考向一椭圆定义的应用1.椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆上一点和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：（1）；（2）；（3）.2.解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为________________；（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为________________；（3）若，则点P到焦点F1的距离为________________．【答案】（1）3；（2）8；（3）．（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得．1．P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝30°，则的面积为A．B．4(2－)C．16(2＋)D．16考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.典例2椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为A.+y2=1B.+=1C.+y2=1或+=1D.+y2=1或+x2=1【答案】C2．离心率为，长轴长为的椭圆的标准方程是A．B．或C．D．或考向三椭圆的几何性质及应用1.与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a,c，代入公式.（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.典例3已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e2＝＝，即e＝.故选B.3．已知椭圆上有一点，它关于原点...
