第1讲数列的概念与简单表示法1．已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是()A．16B．24C．26D．28解析：选C.因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是()A.B.C.D.解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.3．(2019·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升D.升解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.4．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为()A．0B．4C.D.解析：选A.因为an＝－3＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.5．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋等于()A.B.C.D.解析：选A.由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝，选A.6．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.答案：an＝(－1)n·7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，故当n≥2时，an＝，所以an＝答案：an＝8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2018＝________．解析：因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a2018＝a2＝0.答案：09．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.10．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．所以bn＝(2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0，所以cn＋1＜cn，所以数列{cn}为递减数列．1．(2019·湖南岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2017＝()A．2016B．2017C．4032D．4034解析：选B.由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n.则a2017＝2017.故选B.2．(2019·湖北六校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是()A．λ0，＝＋1，则＋1＝2，所以数列是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，所以＋1＝2n.所以bn＋1＝(n－2λ)＝(n－2λ)·2n(n∈N*)，所以bn＝(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，因为数列{bn}是单调递增数列，所以bn＋1>bn，所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，可得λ<(n≥2)，所以λ<，又当n＝1时，b2>b1，所以(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，综上，λ的取值范围是λ<，故选A.3．下列...
