第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=1-2cos2x的最小正周期是()A.π4B.π2C.πD.2π答案:C2.若α为第二象限角,sinα=35,则sin2α=()A.-2425B.-1225C.1225D.2425答案:A3.若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.45答案:D4.若x∈-π2,0,cosx=45,则tan2x等于()A.724B.-724C.247D.-247答案:D5.已知π2<α<π,cosα=-45.(1)求tanα的值;(2)求sin2α+cos2α的值.解:(1)因为cosα=-45,π2<α<π,所以sinα=35,所以tanα=sinαcosα=-34.(2)由(1)易得sin2α=2sinαcosα=-2425,cos2α=2cos2α-1=725,所以sin2α+cos2α=-2425+725=-1725.B级能力提升6.化简sin2x2cosx1+tanx·tanx2=()A.cosxB.tanxC.sinxD.12sin2x解析:原式=2sinxcosx2cosx1+sinxcosx·sinx2cosx2=sinx·cosxcosx2+sinxsinx2cosxcosx2=sinx·cosx2cosxcosx2=sinxcosx=tanx.答案:B7.若θ为锐角,cos(θ+15°)=35,则cos(2θ-15°)=17√250.解析:因为θ为锐角,cos(θ+15°)=35,所以sin(θ+15°)=45.所以sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425,cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=-725.所以cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)cos45°+sin(2θ+30°)sin45°=-725×√22+2425×√22=17√250.8.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.(1)求fπ6的值;(2)若sinα=35,且α∈π2,π,求fα2+π24.解:(1)f(π6)=cos2π6+sinπ6cosπ6=(❑√32)2+12×❑√32=3+❑√34.(2)因为f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=12+12(sin2x+cos2x)=12+❑√22sin(2x+π4),所以f(α2+π24)=12+❑√22sin(α+π12+π4)=12+❑√22sin(α+π3)=12+❑√22(12sinα+❑√32cosα).又因为sinα=35,且α∈(π2,π),所以cosα=-45.所以f(α2+π24)=12+❑√22(12×35-❑√32×45)=10+3❑√2-4❑√620.C级挑战创新9.多空题已知sinα=35,α∈π2,π,则tan2α=-247,cos2α=725.解析:因为sinα=35,α∈(π2,π),所以cosα=-❑√1-sin2α=-45,所以tanα=sinαcosα=-34,tan2α=2tanα1-tan2α=-247,cos2α=2cos2α-1=725.10.开放探究题某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34.证法1:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+√32sinαcosα+14sin2α-√32sinαcosα-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.证法2:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-√32sinαcosα-12sin2α=12-12cos2α+12+14cos2α+√34sin2α-√34sin2α-14(1-cos2α)=1-14cos2α-14+14cos2α=34.
