2016届高考数学一轮复习6.7数学归纳法课时作业理湘教版一、选择题1.（2014·烟台高三模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()A.2k＋2B.2k＋3C.2k＋1D.(2k＋2)＋(2k＋3)【解析】当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，故选D.【答案】D2.（2012·安庆模拟）由数学归纳法证明不等式+…+（n≥2,n∈N）的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了（）A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项【解析】当n=k，左边=，当n=k+1时，左边=，故增加了项．选C.【答案】C3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【解析】对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．1对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.【答案】D4．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去…则第n个图共挖去小正方形()A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D.(8n＋1)个【解析】第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个…第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．【答案】C5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是（）A.6+6·7kB.2+7k-1C.2（2+7k+1)D.3（2+7k）【解析】（1）当k=1时，显然只有3（2+7k）能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.【答案】D6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为（）A.a=,b=c=B.a=b=c=2C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c【解析】 等式对一切n∈N*均成立,∴n=1，2，3时等式成立，即整理得解得a=12,b=c=.【答案】A二、填空题7.已知f(n)=1+++…+(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k+1)-f(2k)=.【解析】 f(2k+1)=1++++…+++…++++…+，f（2k）=1++++…+++…+，∴f(2k+1)-f(2k)=++…+.【答案】++…+8．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为.3【解析】由条件知CA1，A1A2，A2A3，…，An－1An对应的中心角都是，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为，×2，×3…，据题意，第一圈长度为(1＋2＋3)，第二圈长度为(4＋5＋6)，第n圈长度为［(3n－2)＋(3n－1)＋3n］，故ln＝(1＋2＋3＋…＋3n)＝·＝(3n2＋n)π.【答案】(3n2＋n)π9.在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=,则a3=,猜想数列{an}的通项公式为.【解析】由Sn=可计算出a1=1,a2=-1,a3=-.由a1,a2,a3可归纳猜想出an=-.【答案】--10.已知当n=1时，有（a-b）（a+b）=a2-b2,当n=2时，有（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，当n=3时，有（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4，当n∈N*时，你能得到的结论是.【答案】(a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1－bn+14三、解答题11.考察：1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)……猜想第n个等式并用数学归纳法给出证明．【解析】由已知各等式知：第n个等式是：.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，故等式成立；（2）假设当n=k时等式成立，即有：.则当n=k+1时，故当n=k+1时，等式也成立．由（1）（2）知：对于任意的n...
