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高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版-湘教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版-湘教版高三全册数学试题_第1页
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2016届高考数学一轮复习6.7数学归纳法课时作业理湘教版一、选择题1.(2014·烟台高三模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是()A.2k+2B.2k+3C.2k+1D.(2k+2)+(2k+3)【解析】当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边是共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故选D.【答案】D2.(2012·安庆模拟)由数学归纳法证明不等式+…+(n≥2,n∈N)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项【解析】当n=k,左边=,当n=k+1时,左边=,故增加了项.选C.【答案】C3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)>k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.1对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D.【答案】D4.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖去,如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个挖去,得图(2);如此继续下去…则第n个图共挖去小正方形()A.(8n-1)个B.(8n+1)个C.(8n-1)个D.(8n+1)个【解析】第1个图挖去1个,第2个图挖去1+8个,第3个图挖去1+8+82个…第n个图挖去1+8+82+…+8n-1=个.【答案】C5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【解析】(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.【答案】D6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为()A.a=,b=c=B.a=b=c=2C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c【解析】 等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=12,b=c=.【答案】A二、填空题7.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=.【解析】 f(2k+1)=1++++…+++…++++…+,f(2k)=1++++…+++…+,∴f(2k+1)-f(2k)=++…+.【答案】++…+8.如图,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1、A1A2,A2A3是分别以A、B、C为圆心,AC、BA1、CA2为半径画的圆弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈.然后又以A为圆心,AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈,则所得螺旋线的长度ln为.3【解析】由条件知CA1,A1A2,A2A3,…,An-1An对应的中心角都是,且半径依次为1,2,3,4,…,故弧长依次为,×2,×3…,据题意,第一圈长度为(1+2+3),第二圈长度为(4+5+6),第n圈长度为[(3n-2)+(3n-1)+3n],故ln=(1+2+3+…+3n)=·=(3n2+n)π.【答案】(3n2+n)π9.在各项为正数的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=,则a3=,猜想数列{an}的通项公式为.【解析】由Sn=可计算出a1=1,a2=-1,a3=-.由a1,a2,a3可归纳猜想出an=-.【答案】--10.已知当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当n∈N*时,你能得到的结论是.【答案】(a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+14三、解答题11.考察:1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)……猜想第n个等式并用数学归纳法给出证明.【解析】由已知各等式知:第n个等式是:.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,故等式成立;(2)假设当n=k时等式成立,即有:.则当n=k+1时,故当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知:对于任意的n...

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