高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第8节 直线与圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系课时跟踪检测 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第1课时直线与圆锥曲线的位置关系A级·基础过关|固根基|1.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0，3)∪(3，＋∞)解析：选B由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＝16m2－4m(m＋3)>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k等于()A．±B．±C．±D．±2解析：选A由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得解得∴k＝；同理可得当k<0时，k＝－.故选A.3．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A．1B．2C．3D．4解析：选B设过点(3，1)的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由①－②得，y－y＝2p(x1－x2)，即＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝＝2，所以p＝2.4．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是()A.B.C.D.解析：选A由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以线段MN的中点为P.由题意知，kOP＝，所以＝.故选A.5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：选B由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a，交x轴于点A，又F(c，0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°.6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA·OB＝________．解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，1所以OA·OB＝－，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－.答案：－7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP⊥PQ，所以在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，代入椭圆方程得＋＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝.答案：8．(2019届长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝.且|AB|＝|y1－y2|＝6，所以4＝6，解得k2＝2，所以|y1－y2|＝＝2，所以△AOB的面积为S△AOB＝×1×2＝.答案：9．已知点Q是抛物线C1：y2＝2px(p>0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB的长．解：由Q(1，－6)在抛物线y2＝2px上，可得p＝18，所以抛物线C1的方程为y2＝36x.设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k(x－1)．联立消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0，由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝k2－8k－48＝0，解得k＝－4或k＝12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2.10．已知点M在椭圆G：＋＝1(a>b>0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积．解：(1)因为2a＝4，所以a＝2.又点M在椭圆G上，所以＋＝1，解得b2＝4.所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1