高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第二讲 数形结合思想 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第二讲数形结合思想数形结合作为一种重要的数学思想方法，已经渗透到数学的每个模块中，在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法．无论是选择题、填空题还是解答题，都可以用数形结合的思想去分析、思考，寻找解答途径．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，以各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．代数问题几何化与几何问题代数化数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化．它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：1．集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．2．用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)．3．运用向量解决有关问题．4．三角函数的图象及其应用问题．5．解析几何、立体几何中的数形结合问题．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×)1．(2015·沈阳三模)对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的零点恰有两个，则实数c的取值范围是(B)A.∪B.∪C.∪D.∪解析：由题得f(x)＝由y＝f(x)－c的零点恰有两个，即方程f(x)＝c恰有两根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点，如图所示，满足条件的c为(－∞，－2]∪.2．方程sin＝x的实数解的个数是(B)A．2个B．3个C．4个D．以上均不对解析：在同一坐标系内作出y1＝sin与y2＝x的图象(如下图所示)．3．(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(B)解析：当x∈[0，]时，f(x)＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x∈[，]时，f()＝f()＝1＋，f()＝2.∵2＜1＋，∴f()＜f()＝f()，从而排除D，故选B.4．(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是__________________________________________________________．解析：作出函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)和图象与直线y＝a在[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝，x∈[0，3)的应该是4个交点，则有a∈.答案：