高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列求和及综合应用练习-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式函数交汇渗透.真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和.解(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝，又n＝1时，a1＝2适合上式，从而{an}的通项公式为an＝.(2)记的前n项和为Sn，由(1)知＝＝－，则Sn＝＋＋…＋＝1－＝.2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.解(1)设{an}的公比为q，由题意知又an>0，解得所以an＝2n.(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，则cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.考点整合1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.2.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一an与Sn的关系问题【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值.解(1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，两式相减，得an＋1＝－an，又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－，所以数列{an}是公比、首项均为－的等比数列.所以数列{an}的通项公式an＝.(2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前n项和Tn＝n2，cn＝＝＝－，所以An＝1－.因此{An}是单调递增数列，∴当n＝1时，An有最小值A1＝1－＝；An没有最大值.探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列.【训练1】(2018·安徽江南名校联考)已知数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足2(Sn＋1)＝(n＋3)an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3.(1)解2(Sn＋1)＝(n＋3)an，①当n≥2时，2(Sn－1＋1)＝(n＋2)an－1，②①－②得，(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，又 ＝，故是首项为的常数列.所以an＝(n＋2).(2)证明由(1)知，bn＝＝＝9.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝9＝9＝3－<3.热点二数列的求和考法1分组转化求和【例2－1】(2018·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1) {an}为等差数列，∴解得因此{an}的通项公式an＝2n＋1.(2) bn＝2an＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，∴Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5...