12排列、组合与二项式定理1.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人1本,则不同的送法种数是().A.12B.24C.64D.81解析▶4本不同的课外读物选3本送给3名同学,每人1本,则不同的送法种数是A43=24.答案▶B2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是().A.18B.24C.30D.36解析▶(法一)选出的3人中有2名男同学、1名女同学的选法有CC4231=18种,选出的3人中有1名男同学、2名女同学的选法有CC4132=12种,故3名学生中男女生都有的选法有CC4231CC+¿4132¿=30种.(法二)所求选法种数等于从7名同学中任选3名的选法种数,再除去所选3名同学全是男生或全是女生的选法种数,即C73-C43-C33=30.答案▶C3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为().A.8B.24C.48D.120解析▶末位数字排法有A21种,其他位置排法有A43种,共有AA2143=48种.答案▶C4.已知(x-1x)7的展开式的第4项等于5,则x等于().A.17B.-17C.7D.-7解析▶由T4C¿73x4(-1x)3=5,得x=-17.答案▶B能力1▶排列问题【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法种数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)(一题多解)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻.解析▶(1)从7人中选5人排列,有A75=7×6×5×4×3=2520种排列方法.(2)分两步完成,先选3人站前排,有A73种排列方法,再将余下4人站后排,有A44种排列方法,共有A73·A44=5040种排列方法.(3)(法一:特殊元素优先法)先排甲,有5种排列方法,再排其余6人,有A66种排列方法,共有5×A66=3600种排列方法.(法二:特殊位置优先法)首尾位置可安排另外6人中的2人,有A62种排法,其他位置安排余下5人,有A55种排列方法,共有A62·A55=3600种排列方法.(4)(捆绑法)先将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A44种排列方法,再将女生全排列,有A44种排列方法,共有A44·A44=576种排列方法.(5)(插空法)先排女生,有A44种排列方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A53种排列方法,共有A44·A53=1440种排列方法.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.(1)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙3人加入队列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为().A.120B.240C.360D.480(2)某班准备从甲、乙等7人中选派4人发言,要求甲、乙2人至少有1人参加,那么不同的发言顺序有().A.30种B.600种C.720种D.840种解析▶(1)第一步,从甲、乙、丙3人中选1人加入前排,有3种方法,第二步,前排3人形成了4个空位,任选1个空位加入1人,有4种方法,第三步,后排4人形成了5个空位,任选1个空位加入1人,有5种方法,此时形成6个空位,任选1个空位加入1人,有6种方法,根据分步乘法计数原理,有3×4×5×6=360种方法.(2)若甲、乙2人只有1人参加,则有C21C53A44=480种方法;若甲、乙2人都参加,则有C22C52A44=240种方法.故共有480+240=720种方法.答案▶(1)C(2)C能力2▶组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?解析▶(1)从余下的34种商品中选取2种,有C342=561种取法.∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中选取3种,有C343=5984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种,有C201C152=2100种取法.∴恰有2种假货在内的不同取法有2100种.(4)选取2种假货,有C201C152种取法,选取3种假货,有C153种取法,共有C201C152+C153=2100+455=2555种取法.∴至少有2种假货在内的不同取法有2555种.组合问...
