高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第02讲 函数的值域（最值）的常见求法（1）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第02讲函数的值域（最值）的常见求法（1）【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为；时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法一直接法使用情景函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成.解题步骤利用这些特殊函数的性质，结合不等式性质推导出函数的值域.【例1】求函数的值域.【解析】故函数的值域是.【点评】（1）对于某些特殊的数的性质大家要熟悉，如算术平方根具有双重非负性，即：被开方数的非负性和值的非负性；是非负数；是一个非负数，是一个正数.掌握这些数的性质后，可以很快得到函数的值域.（2）不等式的性质在求函数的值域中经常用到，所以不等式的性质要熟练掌握.【反馈检测1】求函数的值域.方法二分离常数法使用情景函数是对称的分式函数.解题步骤一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域.【例2】求函数的值域.【点评】对于对称的分式函数，常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和，再求函数的值域.【反馈检测2】求函数的值域.方法三配方法使用情景一般是二次函数或可以化成二次函数的函数.解题步骤一般先对二次函数配方，再画图观察得到函数的值域.【例3】【2017北京，文11】已知，，且，则的取值范围是__________．【点评】（1）对于二次函数，常用配方法求函数的值域.先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.（2）有时函数的配方计算量比较大，所以可以不配方，直接计算抛物线的对称轴，画出抛物线的草图，截取定义域内的那一段观察，即可得到函数的值域.（3）本题注意不能把函数的定义域看作是，必须根据求出满足的条件，再和求交集得到函数的定义域.【反馈检测3】求函数的值域.方法四反函数法使用情景已知函数比较容易求反函数.解题步骤先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域.【例4】求函数的值域.【解析】反解得即因为反函数的定义域为，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为.【点评】（1）当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域，当然，其它一些能反解出的函数，也可以选择反函数法求函数的值域.（2）利用反函数法求函数的值域，利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.【反馈检测4】求函数值域.方法五换元法使用情景函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联.解题步骤一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域.【例5】求函数的值域.【点评】（1）对形如的函数，可以考虑换元，消掉根式，化成一个二次函数.（2）在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法，由于函数在定义域上增函数，函数在定义域上也是增函数，所以原函数在定义域上是增函数，所以时，函数取最小值.【例6】已知满足不等式.（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值.【解析】（1）【点评】（1）当函数中某一个复杂的式子反复出现时，我们可以考虑换元，使书写简单，使函数式子形式更简单明了.如果后面是指数，也可以换元.（2）换元时一定要注意新元的范围,注意数学等价转化的思想.【例7】求函数的值...