第3讲三角函数的图象与性质1．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin2．(2017年重庆适应性测试)若函数f(x)＝sin－cosωx(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为()A.B.C.D.3．(2016年新课标Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图X331，则()图X331A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin4．(2017年广东茂名一模)已知函数f(x)＝3cos(ω>0)和g(x)＝2sin(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是()A．[－3,3]B.C.D.5．(2013年大纲)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图X332，则ω＝()图X332A．5B．4C．3D．26．函数y＝|tanx|cosx的图象是()ABCD7．(2017年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在上单调递减8．(2016年江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与函数y＝cosx的图象的交点个数是______．9．(2017年浙江温州中学统测)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的图象与x轴的1两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)是减函数的区间为()A.B.C.D.10．(2012年新课标)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是()A.B.C.D．(0,2]11．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．12．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．2第3讲三角函数的图象与性质1．C解析：将x＝代入选项A，B，C，D中，只有选项C取得最大值y＝sin＝sin＝1，所以关于直线x＝对称，且T＝＝π.2．A解析：依题意，得f(x)＝sinωx－cosωx＝sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T＝＝2×＝π，ω＝2，f(x)＝sin.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，f(x)＝sin单调递增．结合各选项知f(x)＝sin的一个单调递增区间为.故选A.3．A解析：由图知，A＝2，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.所以y＝2sin(2x＋φ)．因为图象过点，所以2＝2sin.所以sin＝1.所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．令k＝0，得φ＝－.所以y＝2sin.故选A.4．D解析：因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，所以ω＝2，f(x)＝3cos.由x∈，得2x＋∈.根据余弦函数的单调性，当2x＋＝π，即x＝时，f(x)min＝－3；当2x＋＝，即x＝0时，f(x)max＝.所以f(x)的取值范围是.故选D.5．B解析：设函数的最小正周期为T，由题图可知＝－x0＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.6．C解析：方法一，y＝|sinx|·，分类讨论．方法二，y＝|tanx|cosx的符号与cosx相同．故选C.7．D解析：函数的最小正周期为T＝＝2π，则周期为2kπ.所以f(x)的一个周期为－2π.故选项A正确；将x＝代入f(x)＝cos，得f＝cos3π＝－1为最小值．因此直线x＝为对称轴．故选项B正确；将x＝代入f(x＋π)，得cos＝0.故选项C正确；由x∈，得x＋∈.函数在该区间显然不单调．故选项D错误．故选D.8．7解析：由sin2x＝cosx⇒cosx＝0或sinx＝.因为x∈[0,3π]，所以x＝，，，，，，，共7个．9．A解析：因为f(x)＝2sin，＝，所以T＝＝π.则ω＝2.故f(x)＝2sin.故g(x)＝2sin＝2sin2x，故其单调递减区间为2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，区间为函数g(x)的一个单调递减区间，又⊆.故选A.10．A解析：方法一，ω＝2⇒∈不合题意，排除D；ω＝1⇒∈合题意，排除B，C.故选A.方法二，由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋.由题意知，⊆.∴∴≤ω≤.故选A.11．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈.由正弦函数y＝sinx在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上所述，f(x)在区间上的最大值为＋1，最小值为0.12．解：y＝－2＋＋a－，当0≤x≤时，0≤cosx≤1.令t＝cosx，则0≤t≤1.∴y＝－2＋＋a－，0≤t≤1.当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cosx＝时．ymax＝＋a－＝1，解得a＝或a＝－4(舍去)．当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cosx＝0时，ymax＝a－＝1，解得a＝(舍去)．当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cosx＝1时，ymax＝a＋a－＝1，解得a＝(舍去)．综上所述，存在a＝符合题意．3
