第6讲对数与对数函数一、填空题1．已知函数f(x)＝则f＝________.解析因为f＝log2＝－2，所以f＝f(－2)＝3－2＝.答案2．函数y＝ln(1－x)的图象大致为________．解析由1－x>0，知x<1，排除①、②；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，故选③.答案③3．若实数x满足log3x＝1＋sinθ，则|x－1|＋|x－9|的值为________．解析log3x＝1＋sinθ∈[0,2]，x＝31＋sinθ∈[1,9]，|x－1|＋|x－9|＝x－1＋9－x＝8.答案84．已知函数f(x)＝若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围为________．解析画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f(3－2a2)＞f(a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－或a＞1.答案∪(1，＋∞)5．已知函数f(x)＝lgx．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析 f(x)＝lgx，f(ab)＝1，∴lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2lga＋2lgb＝2lg(ab)＝2.答案26．已知2a＝5b＝，则＋＝________.解析 2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝log2＋log5＝log10＝2.答案27．设a>0且a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．解析 函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0
0，得00的解集为(2,3)．答案(2,3)8．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________．解析由已知条件可知，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－log2(－x)．1当x∈(0，＋∞)时，f(x)<－1，即为log2x<－1，解得00对一切x∈[0,2]恒成立，又a>0且a≠1，故g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a>0，所以a<，所以a的取值范围为(0,1)∪.(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，得a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．12．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得2(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，综上，k∈(－∞，－3)．13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．解(1)设P(x，...
