高考数学 专题39 轨迹方程求解方法黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题39轨迹方程求解方法【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。【方法点评】方法一直接法使用情景：可以直接列出等量关系式解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。例1在平面直角坐标系中，动点与两点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【变式演练1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（）A.（）B.（）C.（）D.（）【答案】A【解析】 点，∴又 动点满足∴点的轨迹方程是射线：（），故选A例2【2018云南昆明一中模拟】已知点，，动点满足，则点的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】B【解析】点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．【变式演练2】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；求点M的轨迹的方程；【答案】方法二定义法使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义解题步骤：第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。例3已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设圆的半径为，则，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选C.【变式演练1】已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（）A、双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆【答案】【解析】由题意知，点的轨迹为抛物线。例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足．求点P的轨迹方程；【答案】试题解析：如图取连接，，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，的轨迹方程为：.【变式演练2】已知点和圆，过点的动直线与圆交于，则弦的中点的轨迹方程__________．【答案】方法三相关点法（代入法）使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题步骤：第一步判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动第二步求出关系式第三步将点的坐标表达式代入已知曲线方程例4已知,分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为（）.A.B.C.D.【答案】A【变式演练1】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为.设点的坐标是。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程。【答案】⑴；⑵【解析】⑴椭圆中心在原点，左焦点为例5如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可得关于的方程,即点的轨迹方程．（Ⅱ）设,由可得,代入（Ⅰ）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程．可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点．由椭圆中关系式可得的值．（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值．试题解析：解：（Ⅰ）设点的坐标为，则又由AC⊥BD有，即，∴．（Ⅱ）设，则，代入M的轨迹方程有即，∴的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．要到的距离之和为定值，则以为焦点，故．∴从而所求P的轨迹方程为．考点：1轨迹问题;2椭圆的定义,简单几何性质．【变式演练2】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】C点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了相关点法即代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．一般过程是求谁设谁，再根据条件找新方程上的点和已知曲线上的点之间的坐标关系，用已知曲线的点坐标表示要求的点的坐标...