专题10数列求和及其应用1．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－解析： an＝2n－1＋，∴Sn＝＋＝n2＋1－.答案：A2．若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为()A．1－B.－－C.－－D.－－答案：D3．已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于()A．9B．18C．36D．72解析： 在等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4.∴由题意可知a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2.∴S9＝9b5＝18.答案：B4．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lgan}的前10项和等于()A．2B．lg50C．5D．10解析：由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，所以数列{lgan}的前10项和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5.答案：C5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里解析：由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．答案：B6．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为________．解析：{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.答案：1207．已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于________．答案：78．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x)＝f(x＋3)，f(－2)＝－3.若数列{an}中，a1＝－1，且前n项和Sn满足＝2×＋1，则f(a5)＋f(a6)＝________．解析： 函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. f(x)＝f(x＋3)，∴f(x)是以3为周期的周期函数． Sn＝2an＋n，∴Sn－1＝2an－1＋(n－1)(n≥2)，两式相减并整理得an＝2an－1－1，即an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，∴数列{an－1}是以2为公比的等比数列，首项为a1－1＝－2，∴an－1＝－2×2n－1＝－2n，an＝－2n＋1，∴a5＝－31，a6＝－63，∴f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3.答案：39．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．10．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， S3＝6，S5＝15，∴即解得∴{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)得bn＝＝，∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①①式两边同乘，得Tn＝＋＋＋＋…＋＋，②①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，∴Tn＝2－－.11．已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.(2)解：由题意得cn＝n2n－n.设An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，设Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，∴2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，∴An＝(n－1)2n＋1＋2.∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2S2＋4，a5＝36.(1)求an，Sn；(2)设bn＝Sn－1(n∈N*)，Tn＝＋＋＋…＋，求Tn.13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求Sn和an.解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1，由上式知，若Sn－1≠0，则Sn≠0. S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，∴由①式可得，当n≥2时，－＝2.∴是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2.(2) ＝＋2(n－1)＝＋2(n－1)＝2＋2(n－1)＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－；当n＝1时，a1＝S...
