高考数学 考点通关练 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 25 解三角形的应用试题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点测试25解三角形的应用一、基础小题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B解析根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．2．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，则有A＋B＝，故三角形为直角三角形．3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．海里/小时B．34海里/小时C．海里/小时D．34海里/小时答案A解析如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34.∴v＝＝(海里/小时)．故选A.4．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则几小时后，两车的距离最小()A．B．1C．D．2答案C解析如图所示，设过xh后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x.∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°，整理得y2＝12900x2－42000x＋40000(0≤x≤2.5)．∴当x＝时，y2最小，即y最小．5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100mB．400mC．200mD．500m答案D解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．6.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.7.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)答案2650解析如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，＝，∴BC＝×sin15°＝10500(－)． CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(－)×＝10500(－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．8．在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P.上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C处，则轮船航行速度是________千米/时．答案2解析PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，∠APB＝60°，∠APC＝30°，PA＝1千米，从而BC＝千米，于是速度v＝BC÷＝2(千米/时)．二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅲ]在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A．B．C．－D．－答案C解析解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－，故选C.解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，在Rt△ADC中，AC＝BC，sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，又因为∠B＝，所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－，故选C.10．[2015·重庆高考]在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.答案解析依题意知∠BDA＝∠C＋∠BAC，由正弦定理得＝，∴sin＝， ∠C＋∠BAC＝180°－∠B＝60°，∴∠C＋∠BAC＝45°，∴∠BAC＝30°，∠C＝30°.从而AC＝2·ABcos30°＝.11.[201...