章末综合测评(四)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除”，当n＝1时原式为()A．1B．1＋2C．1＋2＋3＋4D.1＋2＋22＋23＋24【解析】左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.故选D.【答案】D2．下列说法中正确的是()A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时此命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题【解析】由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．【答案】D3．设S(n)＝＋＋＋…＋，则()A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋【解析】S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.【答案】D4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()【导学号：32750073】A．3n－2B．n2C．3n－1D.4n－3【解析】计算知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，所以可猜想an＝n2.【答案】B5．平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D.k·f(k)【解析】第k＋1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点．【答案】B6．下列代数式，n∈N＋，能被13整除的是()A．n3＋5nB．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1D.42n＋1＋3n＋2【解析】当n＝1时，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91，只有91能被13整除．【答案】D7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步正确的证明方法是()A．假设n＝k(k∈N＋)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立D．假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立【解析】假设n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A，B，C错．故选D.【答案】D8．设0<θ<，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an为()A．2cosB．2cosC．2cosD.2sin【解析】a1＝2cosθ，a2＝＝2cos，a3＝＝2cos，猜想an＝2cos.【答案】B9．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.【答案】D10．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是()A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1B．4×42k＋9×3kC．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1【解析】42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.【答案】A11．如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对所有自然数n成立B．P(n)对所有偶自然数n成立C．P(n)对所有正自然数n成立D．P(n)对所有比1大的自然数n成立【解析】因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有偶自然数n成立．【答案】B12．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C.D.【解析】 a1＝，由Sn＝n(2n－1)an，得a1＋a2＝2(2×2－1)a2，解得a2＝＝，a1＋a2＋a...
