双曲线021．下列双曲线中，离心率为的是()A.－＝1B.－＝1C．－＋＝1D．－＋＝12．双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()A．1B．－1C．－D.3．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．5．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.－y2＝1B.－y2＝1C.－＝1D．x2－＝16．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为()A．－2B．－C．1D．08．双曲线－＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是()A．0B．2C．3D．49．双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程是________．10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若OP＝ae1＋be2(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．11．已知点P为双曲线x2－＝1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝SIPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为________．12．(13分)点M(x，y)到定点F(5,0)距离和它到定直线l：x＝的距离的比是.(1)求点M的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C，在C上求点P，使|OP|＝(O为坐标系原点)．13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|＝2|QF|，求直线l的方程．答案解析【基础热身】1．C[解析]计算知，选项C正确，故选C.2．B[解析]由焦点坐标知，焦点在y轴上，m<0，∴双曲线的标准方程为－＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.3．A[解析]当k>5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k>5或k<－2.故选A.4.＋＝1[解析]由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(，0)．设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.【能力提升】5．B[解析]椭圆的焦点坐标为(±，0)，四个选项中，只有－y2＝1的焦点为(±，0)，且经过点P(2,1)．故选B.6．D[解析]设双曲线的方程为－＝1，设F(c,0)，B(0，b)，直线FB的斜率为－，与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝.7．A[解析]由已知可得A1(－1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)，则PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因为x2－＝1(x≥1)，所以PA1·PF2＝4x2－x－5，当x＝1时，PA1·PF2有最小值－2.故选A.8．C[解析](5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y＝±x[解析]双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，即y＝±x.10．4ab＝1[解析]易知双曲线Γ的方程为－y2＝1，设P(x0，y0)，又e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，由OP＝ae1＋be2，得(x0，y0)＝a(2，1)＋b(2，－1)，即(x0，y0)＝(2a＋2b，a－b)，∴x0＝2a＋2b，y0＝a－b，代入－y2＝1整理得4ab＝1.11.[解析]I为△PF1F2的内心，所以其到三角形三边的距离d相等．由S△IPF1＝SIPF2＋λS△IF1F2，得|PF1|·d＝|PF2|·d＋λ|F1F2|·d，即|PF1|－|PF2|＝λ×2c，得2＝λ×2×3，λ＝.12．[解答](1)|MF|＝，点M到直线l的距离d＝，依题意，有＝，去分母，得3＝|5x－9|，平方整理得－＝1，即为点M的轨迹方程．(2)设点P坐标为P(x，y)，由|OP|＝得x2＋y2＝34，解方程组得或或或∴点P为(3，4)或(－3，－4)或(－3，4)或(3，－4)．【难点突破】13．[解答](1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，所以所求的双曲线方程为x2－＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)，因为|MQ|＝2|QF|且M、Q、F共线于l，所以MQ＝2QF或MQ＝－2QF.当MQ＝2QF时，xQ＝－，yQ＝k，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝(x＋2)，当MQ＝－2QF时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．综上：所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．
