第四课考点突破·素养提升素养一数学运算角度1指数、对数的运算【典例1】(1)计算(0.064-++16-0.75+(0.01,(2)计算:10-log98·log4.(3)设3x=4y=36,求+的值.【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.(2)10-log98·log4=10lg9÷10lg4-·=-·=-=2.(3)因为3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436,由换底公式得x==,y==,所以=log363,=log364,所以+=2log363+log364=log36(32×4)=log3636=1.【类题·通】1.指数的运算注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.2.底数相同的对数式化简的两种基本方法(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).【加练·固】1.计算:log89·log2732-()lg1+log535-log57=________.【解析】log89·log2732-()lg1+log535-log57=×-1+log5=×-1+1=.答案:2.计算:+(0.002-10(-2)-1+.【解析】原式=(-1+-+1=+(500-10+1=+10-10-20+1=-.角度2求函数的零点【典例2】函数f(x)=的零点的个数为______.【解析】当x≤0时,令2x2-x-1=0,解得x=-(x=1舍去);当x>0时,令3x-4=0,解得x=log34,所以函数f(x)=有2个零点.答案:2【类题·通】函数零点的求法求函数的零点即解相应方程的根,一般多涉及二次方程、指数方程、对数方程等,解二次方程一般需要用到十字相乘法、求根公式,指数、对数方程往往需要用到指数与对数的互化等.【加练·固】函数f(x)=的零点为________.【解析】当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x>0时,令-2+lnx=0,即lnx=2,解得x=e2.答案:-3,e2角度3函数零点、方程的根所在区间的判断【典例3】方程log3x+x=3的根所在的区间为()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.令f(x)=log3x+x-3,则f(x)在(0,+∞)上是连续的,且是单调递增的,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).【类题·通】函数零点存在定理的应用(1)函数的零点、方程的根所在区间判断的依据是零点存在定理,即在区间(a,b)上是否有f(a)f(b)<0.(2)端点值为指数、对数形式时,需要利用指数、对数的单调性、相应的运算性质比较大小,以确定正负.(3)特别地,在区间(0,a]上,对数函数y=logax,当a>1,x→0时,y→-∞;当0
0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.素养二直观想象角度1基本初等函数的图象问题【典例4】已知a>0且a≠1,函数y=,y=logax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()【解析】选B.当a>1时,那么0<<1,y=是减函数,y=logax是增函数.y=x+a与y轴的交点大于1,此时没有图象满足;当01,y=是增函数,y=logax是减函数.y=x+a与y轴的交点在0与1之间,此时图象B满足.【类题·通】函数图象的画法画法应用范围画法技巧基本函数基本初等函数利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点法(线),直接根据函数的图象特征作出图象变换法与基本初等函数有关联的函数弄清所给函数与基本初等函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本初等函数图象变换得到函数图象描点法未知函数或较复杂的函数列表、描点、连线角度2数形结合思想的应用【典例5】已知f(x)=g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,则m的取值范围是()A.[-1,+∞)B.[-1,0)C.[0,+∞)D.[1,+∞)【解析】选A.g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,可得g(x)=0,即f(x)=-x-m有两个不等实根,即有函数y=f(x)和直线y=-x-m有两个交点,作出y=f(x)的图象和直线y=-x-m,当-m≤1,即m≥-1时,y=f(x)和y=-x-m有两个交点.【延伸探究】本题若改为方程f(x)+x+m=0有唯一的根,试求m的范围.【解析】方程f(x)+x+m=0有唯一的根,即方程f(x)=-x-m有唯一的根,令g(x)=-x-m,作出函数f(x),g(x)的图象如图,当-m>1,m<-1时,两函数的图象有唯一的...
