2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题15同角三角函数的基本关系与诱导公式理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式．【热点题型】题型一同角三角函数基本关系式及应用【例1】(1)已知tanα＝2，则＝_______________.(2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－B.C．－D.【答案】(1)－1(2)D【解析】【提分秘籍】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．【举一反三】若3sinα＋cosα＝0，则的值为()A.B.C.D．－2【答案】A【解析】3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝.题型二利用诱导公式化简三角函数式【例2】(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．(2)设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝________．【答案】(1)1(2)【解析】【提分秘籍】利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【举一反三】(1)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1089°)tan(－540°)＝________．(2)化简：＝________．【答案】(1)0(2)－1【解析】题型三利用诱导公式求值【例3】(1)已知sin＝，则cos＝______．(2)已知tan＝，则tan＝________．【答案】(1)(2)－【解析】(1) ＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.(2) ＋＝π，∴tan＝－tan＝－tan＝－.【提分秘籍】巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．【举一反三】(1)已知sin＝，则cos＝________．(2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________．【答案】(1)－(2)【高考风向标】【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．【解析】解法二：(1)同解法一.(2)1)同解法一.2)因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时,所以于是【2015高考山东，理16】设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（I）单调递增区间是；单调递减区间是（II）面积的最大值为【解析】单调递减区间是（2014·福建卷）已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.所以f(α)＝×－＝.(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f＝，求cos的值．【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….因为－≤φ＜，所以φ＝－.（2013·全国卷）已知α是第三象限角，sinα＝－，则cotα＝________．【答案】2【解析】cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2.（2013·四川卷）设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．【答案】【解析】解法一：由sin2α＝－sinα，得2s...
