专题53离散型随机变量及其分布列、均值与方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.（3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.一、离散型随机变量的分布列1．随机变量的有关概念随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质（1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值(i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.X……P……有时也用等式表示X的分布列．（2）离散型随机变量的分布列的性质①(i＝1，2，…，n)；②．3．必记结论（1）随机变量的线性关系若X是随机变量，，a，b是常数，则Y也是随机变量．（2）分布列性质的两个作用①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．二、常见的离散型随机变量的概率分布模型1．两点分布若随机变量X的分布列为X01P1－pp称X服从两点分布，而称为成功概率．2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为，k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列X01…mP…为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.3．必记结论（1）两点分布实际上是n＝1时的二项分布．（2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和．三、离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：X……P……（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)．考向一离散型随机变量分布列性质的应用分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.典例1随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于A．B．C．D．【答案】D典例2已知随机变量ξ的分布列为ξ12…n-1nP…x其中n∈N*,则x的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由分布列的性质,得++…++x=1,即(1-)+(-)+…+(-)+x=1-+x=1,所以x=.1．已知随机变量ξ的分布列为ξ1234P若随机变量η满足η=2ξ-1,则P(1≤η<5)=.考向二离散型随机变量的分布列、均值与方差1．求离散型随机变量X的分布列的步骤：（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列.2．（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．（2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．（3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．3．求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.典例3某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为(1)求的分布列和数学期望.(2)记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率;123.(2)因为是偶函数,所以或故=.典...
