专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知数列{an}是等差数列,a1=tan225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2016=()A.2016B.-2016C.3024D.-30242.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于()A.B.C.D.3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.3984.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()A.305B.315C.325D.3355.已知数列{an},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列{an}的通项公式为()A.an=,n∈N*B.an=,n∈N*C.an=D.an=1,n∈N*6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为m.7.数列{an}满足an+1=,a11=2,则a1=.8.数列{an}满足a1+a2+…+an=2n+5,n∈N*,则an=.9.设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通项公式an;(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.11.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).(1)求an与bn;(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.二、思维提升训练12.给出数列,…,,…,,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()A.4900B.4901C.5000D.500113.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.14.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.(1)证明:an+2=3an;(2)求Sn.15.已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且,S6=63.(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.16.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.C解析 a1=tan225°=1,∴a5=13a1=13,则公差d==3,∴an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),∴S2016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2014-a2013)+(a2016-a2015)=1008d=3024.2.D解析 数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴当n=1时,a1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn=,T9=+…+.3.C解析 Sn=n2-2n-1,∴a1=S1=12-2-1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.∴an=∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.4.D解析 f(1)=,f(2)=,f(3)=,……,f(n)=+f(n-1),∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.∴S20=20×=335.5.A解析因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为的等比数列,所以an-an-1=,n≥2.所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1++…+=.又当n=1时,an==1,则an=,n∈N*.6.2000解析设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2000.当x=9或12时,S=20×102=2040;……当x=1或19时,S=3800.∴Smin=2000m.7.解析由a11=2及an+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,….所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=.8.解析在a1+a2+…+an=2n+5中用(n-1)代换n得a1+a2+…+an-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减,得an=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an=9.解(1)由题意得又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n≥3时,Tn=3+,所以Tn=10.解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②联立①和②解得(舍去),因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.11.解(1)由a1=2,...
