高考数学一轮复习 考点一篇过 专题40 抛物线 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点40抛物线（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误.二、抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质标准方程图形几何性质范围对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点准线方程顶点坐标原点(0，0)离心率2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p．4．必记结论直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.（3）＋为定值.（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.考向一抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值1（抛物线的离心率）.2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．典例1已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为,则p,m的值分别为A．p=1,m=2B．p=1,m=±2C．p=,m=2D．p=,m=±2【答案】D【解析】由抛物线的方程得其准线方程为y=-,根据抛物线的定义可知,4+,解得p=,所以抛物线的方程为x2=y,将A(m,4)代入抛物线的方程,解得m=±2.典例2已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为A．(x≠0)B．(x≠0)C．(y≠0)D．(y≠0)【答案】D1．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点的横坐标为A．B．2C．D．3考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4,则该抛物线的方程是A．y2=xB．y2=xC．y2=2xD．y2=x【答案】A【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4,故AB2=4,故AB=4,正三角形OAB的高为2,故可设点A的坐标为(2,2),代入抛物线方程得4=4p,解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．（1）过点；（2）焦点在...