§6.4数列的综合应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.数列的通项公式及前n项和的求法掌握数列的通项公式及求和方法Ⅱ2017课标全国Ⅲ,17;2017北京,15;2016天津,18;2015山东,19解答题★★★2.数列的综合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题Ⅲ2017天津,18;2016浙江,17;2016四川,19选择题、解答题★★★分析解读综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常选考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.五年高考考点一数列的通项公式及前n项和的求法1.(2017山东,19,12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.解析(1)设{an}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知:S2n+1==(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=.1因此Tn=c1+c2+…+cn=+++…++,又Tn=+++…++,两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.2.(2017北京,15,13分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.解析(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.3.(2016天津,18,13分)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且-=,S6=63.(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.解析(1)设数列{an}的公比为q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1·=63,知q≠-1,所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1.2(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+…+(-+)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.4.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++.两式相减得Sn=+-=+-.3所以Sn=2-.教师用书专用(5—13)5.(2015湖北,19,12分)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解析(1)由题意有,即解得或故或(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+++++…+,①Tn=+++++…+.②①-②可得Tn=2+++…+-=3-,故Tn=6-.6.(2015安徽,18,12分)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,4又a1+a4=9,可解得或(舍去).由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn==2n-1,又bn===-,所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=-=1-.7.(2015山东,19,12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(an+1)·,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设数列{an}的公差为d.令n=1,得=,所以a1a2=3.令n=2,得+=,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,所以4Tn=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=×4n+1-.5所以Tn=×4n+1+=.8.(2014湖北,19,12分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列{an}的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4...
