中档大题满分练7
立体几何(A组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基
如图,在四面体ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=BD=CD
(1)求证:AD⊥BD
(2)若AB与平面BCD所成的角为60°,点E是AC的中点,求二面角C-BD-E的大小
【解析】(1)由已知得BC2+BD2=CD2,所以BD⊥BC,又AB⊥BC,BD∩AB=B,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AD,又CD⊥AD,BC∩CD=C,所以AD⊥平面BCD,所以AD⊥BD
(2)由(1)知,AB与平面BCD所成的角为∠ABD,即∠ABD=60°,设BD=2,则BC=2,在Rt△ADB中,AB=4,由(1)中BC⊥平面ABD,故平面ABC⊥平面ABD,在平面ABD内,过点B作Bz⊥AB,则Bz⊥平面ABC,以B为原点,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(4,0,0),C(0,2,0),E(2,1,0),由xD=|BD|cos60°=1,zD=|BD|sin60°=,得D(1,0,),所以=(2,1,0),=(1,0,),设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),则取z=1,解得所以m=(-,2,1)是平面BDE的一个法向量,又=(-3,0,)是平面CBD的一个法向量
设二面角C-BD-E的大小为θ,易知θ为锐角,则cosθ=|cos|===,所以θ=60°,即二面角C-BD-E的大小为60°
如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点
(1)求二面角F-AE-B的余弦值
(2)若点M为线段AC上异于点A的一点,BE⊥OM,求a的值
【解析】(1)因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF,又因为平面AEF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=E
