高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲直线与圆锥曲线的位置关系专题复习检测A卷1．(2019年东北三校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋y2＝1【答案】B【解析】由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.2．(2019年福建福州模拟)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x【答案】B【解析】由题意可知A，B两点中必有一点是原点，不妨设A(0,0)．由P(1,1)是线段AB的中点，可得B(2,2)．设抛物线方程为y2＝ax，将B(2,2)代入，可得22＝2a，解得a＝2，即抛物线方程为y2＝2x.3．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是()A．(x－1)2＋y2＝1B．x2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋y2＝2D．x2＋(y－1)2＝2【答案】D【解析】抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)． 该圆与直线y＝x＋3相切，∴r＝＝.∴该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.4．(2019年上海嘉定区期末)过点P(1,1)作直线与双曲线x2－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()A．存在一条，方程为2x－y－1＝0B．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0C．存在无数条D．不存在【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x－y＝1，x－y＝1.两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2.故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.联立化简得2x2－4x＋3＝0，无解，故这样的直线不存在．故选D．5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量OA＋OB与向量a＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(－c,0)．直线l的方程为y＝x＋c，联立化简得(a2＋b2)x2＋2ca2x＋a2c2－a2b2＝0，∴x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝.∴向量OA＋OB＝. 向量OA＋OB与向量a＝(3，－1)共线，∴－－3×＝0，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.故选B．6．(2019年江西南昌模拟)已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x＋2y－3＝0【解析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0.∴x1＋x2＝.又 x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.7．双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2，且交双曲线C的右支于A，B两点(点A在点B上方)，若OA＋2OB＋3OF1＝0，则直线l的斜率k＝________.【答案】【解析】由题意知双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝k(x－2)，代入双曲线方程，整理得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0，∴x1＋x2＝－，①x1x2＝.② OA＋2OB＋3OF1＝0，∴x1＋2x2－6＝0.③由①②③可得k＝或k＝－(舍去)．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.【答案】8【解析】由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2,0)，设A点的坐标为(－2，c)，则＝－，解得c＝4.又PA⊥l，∴P点的纵坐标为4.由(4)2＝8x，得x＝6.∴|PF|＝x＋＝8.9．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.(1)求抛物线C的方程；(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．【解析】(1) |MF|＝3＋＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x.(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，联立整理得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.∴xM·xN＝＝4. xM＝3，∴xN＝. N为MF的延长线与抛物线的交点，可知yN<0.∴yN＝－＝－，∴N.10．(2019年贵州贵阳适应性考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4....