第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号将不等式转化为函数最值2,5构造函数将不等式转化为最值1,3,41.证明:当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x.证明:设F(x)=sinx-x,则F′(x)=cosx-.当x∈(0,)时,F′(x)>0,F(x)在[0,]上是增函数;当x∈(,1)时,F′(x)<0,F(x)在[,1]上是减函数.又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥x.记H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.综上,x≤sinx≤x,x∈[0,1].2.已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)求证:当x>1时,x2+lnx0,所以当a=4时,x=2是极小值点,所以a=4.(2)解:因为f′(x)=x-=(x∈(0,+∞)),所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).当a>0时,f′(x)==,所以函数f(x)的单调递增区间是(,+∞),单调递减区间为(0,).(3)证明:设g(x)=x3-x2-lnx,则g′(x)=2x2-x-,因为当x>1时,g′(x)=>0,所以g(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,所以g(x)>g(1)=>0,所以当x>1时,x2+lnx0,且x≠1时,f(x)>.(1)解:f′(x)=-.由于切线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).故即解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=+,所以f(x)-=(2lnx-).令函数h(x)=2lnx-(x>0),则h′(x)=-=.所以当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得h(x)>0.从而当x>0,且x≠1时,f(x)->0,即f(x)>.4.(2015高考天津卷)已知函数f(x)=4x-x4,x∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x).求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x10,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减;所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f′(x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0),即g(x)=f′(x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),则F′(x)=f′(x)-f′(x0).由于f′(x)=-4x3+4在(-∞,+∞)上单调递减,故F′(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又因为F′(x0)=0,所以当x∈(-∞,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,所以F(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的实数x,F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:由(2)知g(x)=-12(x-).设方程g(x)=a的根为x′2,可得x′2=-+.因为g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x′2),因此x2≤x′2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x,对于任意的x∈(-∞,+∞),有f(x)-h(x)=-x4≤0,即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x′1,可得x′1=.因为h(x)=4x在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x′1)=a=f(x1)≤h(x1),因此x′1≤x1.因此可得x2-x1≤x′2-x′1=-+.5.已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0.解:(1)由题意得f′(x)=12x2-2a.当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).当a>0时,f′(x)=12(x-)(x+),此时函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-]和[,+∞),单调递减区间为[-,].(2)由于0≤x≤1,故当a≤2时,f(x)+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.当a>2时,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则g′(x)=6x2-2=6(x-)(x+),于是g′(x),g(x)随x的变化情况如表x0(0,)(,1)1g′(x)-0+g(x)1减极小值增1所以,g(x)min=g()=1->0.所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0.故f(x)+|2-a|≥4x3-4x+2>0.
