第17讲导数与函数的极值、最值1．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm33．(2018年四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()A．(1,5)B．[1,5)C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞)4．(2017年新课标Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．15．(2019年广东模拟)若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为()A.B.C.＋1D.－16．(多选)如图X2171是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()图X2171A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值C．在x3处函数y＝f(x)有极大值D．在x5处函数y＝f(x)有极小值7．(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图X2172所示，下列叙述错误的是()图X2172A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的极小值点C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零8．(2017年湖南长沙雅礼中学)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则f(2)＝________.9．(2018年江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．10．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．11．(2018年北京)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求实数a的取值范围．12．(2019年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．第17讲导数与函数的极值、最值1．A解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0. x＝－1为极大值点，x＝1为极小值点．∴∴－2
0，解得x<－2或x>1；令f′(x)<0，解得－21，即a>1时，在[1，)上f′(x)>0，在(，＋∞)上f′(x)<0，∴f(x)max＝f()＝＝，解得a＝<1，不符合题意．综上知，a＝－1.故选D.6．ABCD7.BD8．18解析：由题意，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.当a＝－3，b＝3时，此时f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数无极值；当a＝4，b＝－11时，f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，则f(2)＝18.9．－3解析：由f′(x)＝6x2－2ax＝0得x＝0，或x＝. 函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f(0)＝1，∴>0，f＝0，因此f＝23－a2＋1＝0，a＝3，从而函数f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(0)，f(x)min＝{f(－1)，f(1)}＝f(－1)，f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.10．－解析：函数f(x)＝2sinx＋sin2x，f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2(cosx＋2cos2x－1)＝2(cosx＋1)(2cosx－1)，当cosx＝，即sinx＝±时，f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)取值±2×，则f(x)的最小值是－.11．解：(1) f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，∴f′(x)＝[2ax－(4a＋1)]ex＋[ax2－(4a＋1)x＋4a...
