考点11.3二项式定理考点梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，…，C2.二项式系数的性质(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.C＝C(0≤m≤n)．(2)二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．真题演练1．（2020•北京）在的展开式中，的系数为（）A．B．5C．D．10【答案】C【解析】的展开式中，通项公式为，令，求得，可得的系数为，故选C．2．（2020•新课标Ⅰ）的展开式中的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【解析】因为；要求展开式中的系数即为求展开式中的系数；展开式含的项为：；故的展开式中的系数为15；故选C．3．（2019•全国）的展开式中的系数是（）A．120B．60C．30D．15【答案】B【解析】由二项式的展开式的通项为，令，解得，则的展开式中的系数是，故选B．4．（2019•新课标Ⅲ）的展开式中的系数为（）A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】的展开式中的系数为：．故选A．5．（2018•新课标Ⅲ）的展开式中的系数为（）A．10B．20C．40D．80【答案】C【解析】由二项式定理得的展开式的通项为：，由，解得，的展开式中的系数为．故选C．6．（2017•新课标Ⅰ）展开式中的系数为（）A．15B．20C．30D．35【答案】C【解析】展开式中：若提供常数项1，则提供含有的项，可得展开式中的系数：若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：由通项公式可得．可知时，可得展开式中的系数为．可知时，可得展开式中的系数为．展开式中的系数为：．故选C．7．（2017•新课标Ⅲ）的展开式中的系数为（）A．B．C．40D．80【答案】C【解析】的展开式的通项公式：．令，，解得．令，，解得．的展开式中的系数．故选C．8．（2020•浙江）二项展开式，则__________，__________．【答案】80；122【解析】，则．．故答案为：80；122．9．（2020•上海）已知二项式，则展开式中的系数为__________．【答案】10【解析】，所以展开式中的系数为10．故答案为：10．10．（2020•新课标Ⅲ）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】由于的展开式的通项公式为，令，求得，故常数项的值等于，故答案为：240．11．（2020•天津）在的展开式中，的系数是__________．【答案】10【解析】的展开式的通项公式为，令，得，的系数是，故答案为10．12．（2019•上海）已知二项式，则展开式中含项的系数为__________．【答案】40【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中含项的系数值为，故答案为：40．13．（2019•天津）的展开式中的常数项为__________．【答案】28【解析】由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：．当，即时，为常数项．此时．故答案为：28．14．（2019•浙江）在二项式展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是__________．【答案】，5【解析】二项式的展开式的通项为．由，得常数项是；当，3，5，7，9时，系数为有理数，系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：，5．15．（2019•上海）在的展开式中，常数项等于__________．【答案】15【解析】展开式的通项为令得，故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．16．（2018•全国）多项式中的系数为__________．（用数字填写答案）【答案】9【解析】多项式中的系数，即为和中的系数之和，为，故答案为：9．17．（2018•天津）在的展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】的二项展开式的通项为．由，得．的系数为．故答案为：．18．（2018•浙江）二项式的展...
