高考数学一轮复习 高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考必考题突破讲座(五)直线与圆锥曲线的综合应用[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查．其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力．1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．解析(1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝，由d<1，得|m|<.(*)∴|CD|＝2＝2＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－mx＋m2－3＝0，∴x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，|AB|＝＝.由＝，得＝1，解得m＝±，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.2．(2018·山西太原模拟)如图，曲线C由左半椭圆M：＋＝1(a>b>0，x≤0)和圆N：(x－2)2＋y2＝5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q(均异于点A，B)分别是M，N上的动点．(1)若|PQ|的最大值为4＋，求半椭圆M的方程；(2)若直线PQ过点A，且AQ＋AP＝0，BP⊥BQ，求半椭圆M的离心率．解析(1)令x＝0，由(x－2)2＋y2＝5得y＝±1，∴A(0,1)，B(0，－1)，∴b＝1.由题意可知当P，Q均在x轴上时，|PQ|取得最大值，∴a＋2＋＝4＋，∴a＝2.∴半椭圆M的方程为＋y2＝1(x≤0)．(2)由(1)得A(0,1)，B(0，－1)，由题意知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1.设P(x1，y1)，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，∴x1＝－.设Q(x2，y2)，由得(1＋k2)x2＋2(k－2)x＝0，∴x2＝. AQ＋AP＝0，∴x1＝－x2. BP⊥BQ，∴BP·BQ＝0，∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，∴(1＋k2)x－4＝0，将x2＝代入上式，得k＝，∴x1＝－，x2＝，∴＝，∴a2＝，c2＝，∴e＝.3．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值．解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1.由此可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝.由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.4．(2018·福建质检)已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－，0)，B(，0)，以线段AP为直径的圆C1内切于圆O.记点P的轨迹为C2.(1)证明：|AP|＋|BP|为定值，并求C2的方程；(2)过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D(－2,0)，直线DM，DN与C2的另一个交点分别为S，T.记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．解析(1)如图，因为圆C1内切于圆O，所以|OC1|＝2－|AP|.依题意，O，C1分别为AB，AP的中点，所以|OC1|＝|BP|，所以|AP|＋|BP|＝2(2－|OC1|)＋2|OC1|＝4>|AB|.所以C2是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以C2的方程为＋y2＝1.(2)依题意，设直线DM的方程为x＝my－2(m≠0)，因为MN为圆O的直径，所以∠MDN＝90°，所以直线DN的方程为x＝－y－2，由得(1＋m2)y2－4my＝0，所以yM＝，由得(4＋m2)y2－4my＝0，所以yS＝，所以＝，所以＝＝，所以＝＝·＝·＝.令t＝1＋m2，则t>1,0<<3，所以＝＝∈，即的取值范围为.5．(2018·安徽百所重点中学模拟)如图，设直线l：y＝k与抛物线C：y2＝2px(p>0，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k＝时，抛物线C的焦点F到直线l的距离为.(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．解析(1)当k＝时，直线l：y＝，即2x－4y＋p＝0，抛物线C的焦点F到直线l的距离d＝＝＝，解得p＝±2，又p>0，所以p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)设点M(4t...