第11讲圆锥曲线的基本问题1.(2018扬州中学高三开学考)设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是.2.(2018徐州铜山中学高三期中)各棱长都为2的正四棱锥的体积为.3.若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.4.(2018江苏五校高三学情检测)若直线√3x-y=0为双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一条渐近线,则b的值为.5.(2018南京高三学情调研)已知实数x,y满足条件{2≤x≤4,y≥3,x+y≤8,则z=3x-2y的最大值为.6.(2018盐城时杨中学高三月考)已知00”为真命题,则{a>0,Δ=16-4a2<0.解得a>2.4.答案√3解析直线√3x-y=0为双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一条渐近线,则b=√3.5.答案6解析约束条件对应的平面区域是以点(2,6),(4,4),(4,3),(2,3)为顶点的四边形,目标函数z=3x-2y在点(4,3)处取得最大值,最大值为6.6.答案215169解析因为0cosx>0.联立sinx-cosx=713和sin2x+cos2x=1,解得sinx=1213,cosx=513.所以4sinxcosx-cos2x=4×1213×513-25169=215169.7.答案√63解析由⃗AB·⃗AC=(⃗AE-2⃗EF)·(⃗AE+2⃗EF)=|⃗AE|2-4|⃗EF|2=2,⃗AD·⃗AF=(⃗AE-⃗EF)·(⃗AE+⃗EF)=|⃗AE|2-|⃗EF|2=5,解得|⃗EF|=1,|⃗AE|=√6.8.答案y=x+12解析设A(x1,x12),B(x2,x22),将直线l:y=x+t代入抛物线的方程,得x2-x-t=0.所以x1+x2=1,x1x2=-t,Δ=1+4t>0,t>-14.又⃗PA·⃗PB=(x1-1,x12)·(x2-1,x22)=(x1-1)(x2-1)+(x1x2)2=t2-t=(t-12)2-14,所以当t=12时,⃗PA·⃗PB取得最小值-14,此时直线的方程为y=x+12.9.解析(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+1+√3sinxcosx+12=1-cos2x2+1+√32sin2x+12=√32sin2x-12cos2x+2=sin(2x-π6)+2.因为ω=2,所以T=2π2=π.(2)由(1)知,f(A)=sin(2A-π6)+2,当A∈[0,π2]时,-π6≤2A-π6≤5π6.由正弦函数的图象可知,当2A-π6=π2,即A=π3时.f(x)取得最大值3.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA.∴12=b2+16-2×4b×12.∴b=2,从而S=12bcsinA=12×2×4×sin60°=2√3.10.证明(1)取AB的中点P,连接PM,PB1.因为M,P分别是AC,AB的中点,所以PM∥BC,且PM=12BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B1C1,又因为N是B1C1的中点,所以PM∥B1N,且PM=B1N,4所以四边形PMNB1是平行四边形,所以MN∥PB1.而MN⊄平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥面A1B1C1.又因为BB1⊂面ABB1A1,所以面ABB1A1⊥面A1B1C1.又因为∠ABC=90°,所以B1C1⊥B1A1.又因为面ABB1A1∩面A1B1C1=B1A1,B1C1⊂平面A1B1C1,所以B1C1⊥面ABB1A1.又因为A1B⊂面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B.连接AB1,因为在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,所以AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂面AB1N,所以A1B⊥面AB1N.而AN⊂面AB1N,所以A1B⊥AN,即AN⊥A1B.5
