高考小题分项练3函数的图象与性质1．定义在R上的奇函数f(x)满足x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)，若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________．答案4解析由定义在R上的奇函数f(x)，得f(0)＝0＝1＋b，b＝－1，f(2)＝2＋2(a－1)－1＝－1，a＝0，f(x)＝log2(x＋2)－x－1(x≥0)，f(－6)＝－f(6)＝－3＋6＋1＝4.2．设函数f(x)＝若f(f())＝4，则b＝________.答案解析f()＝－b，①当－b<1，即b>时，f(f())＝f(－b)＝3×(－b)－b＝－4b＝4，∴b＝(舍)．②当－b≥1，即b≤时，f(f())＝f(－b)＝2－b＝4，∴－b＝2，∴b＝.3．已知函数f(x)＝ln(2x＋)－，若f(a)＝1，则f(－a)＝______.答案－3解析因为f(a)＋f(－a)＝＋＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－2－1＝－3.4．若函数f(x)＝1＋＋sinx在区间[－k，k](k>0)上的值域为[m，n]，则m＋n＝______.答案4解析f(x)＝1＋＋sinx＝1＋2()＋sinx＝3－＋sinx，m＋n＝f(－k)＋f(k)＝6－2(＋)＋sin(－k)＋sink＝6－2＝4.5．若函数f(x)＝ex＋x3－x－1的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)＝x3＋的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是________．答案{}解析由题意得g(x)＝f(x)有且只有两个交点，即y＝m与y＝xex－x2－x(x≠0)有两零点，因为y′＝(x＋1)ex－x－1＝0⇒x＝－1，或x＝0，由图可知m＝－e－1＋时满足条件．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是____________．答案[－，]解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(x)＝f(－x)，则有m＝－1，所以f(x)＝2x－，可以作出图象(如图1)，再由图象变换可以得到图2.g(x)＝“函数y＝g(x)－t有且只有一个零点”等价于“函数y1＝g(x)与函数y2＝t只有一个交点”，数形结合可以得到t∈[－，]．7．奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b＝________.答案10解析由图可知，图1为f(x)的图象，图2为g(x)的图象，m∈(－2，－1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))＝0⇔g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1⇔x＝－1，x＝1，x＝m，x＝0，x＝n，x＝－2，x＝2，∴方程f(g(x))＝0有7个根，即a＝7；而方程g(f(x))＝0⇔f(x)＝m或f(x)＝0或f(x)＝n⇔f(x)＝0⇔x＝－1，x＝0，x＝1，∴方程g(f(x))＝0有3个根，即b＝3.∴a＋b＝10.8．当函数f(x)＝有且只有一个零点时，a的取值范围是________．答案a≤0或a>1解析 f(1)＝lg1＝0，∴当x≤0时，函数f(x)没有零点，故－2x＋a>0或－2x＋a<0在(－∞，0]上恒成立，即a>2x，或a<2x在(－∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0.9．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为________．答案解析由题意，得点A(－2，－1)，故－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，∴＋＝＋＝＋＋2＋≥4＋＝，当且仅当m＝n＝时，等号成立．10．设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x3＋sinx＋1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(－2015)＋f(－2014)＋f(－2013)＋…＋f(2014)＋f(2015)＝________.答案4031解析 f(x)＝x3＋sinx＋1，∴f′(x)＝3x2＋cosx，f″(x)＝6x－sinx，又 f″(0)＝0，而f(x)＋f(－x)＝x3＋sinx＋1－x3－sinx＋1＝2，函数f(x)＝x3＋sinx＋1图象的对称中心的坐标为(0,1)，即x1＋x2＝0时，总有f(x1)＋f(x2)＝2，∴f(－2015)＋f(－2014)＋f(－2013)＋…＋f(2014)＋f(2015)＝2×2015＋f(0)＝4030＋1＝4031.11．已知函数f(x)＝则f(f(－))＝________；f(x)的最小值为________．答案10解析f(f(－))＝f(log33)＝f(1)＝1＋2－2＝1.当x≥1时，f(x)＝x＋－2≥2－2；当x<1时，f(x)＝log3(x2＋1)≥0.故f(x)的最小值为f(0)＝0.12．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示．据...
