题组训练89坐标系1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为()A．25x2＋9y2＝1B．9x2＋25y2＝1C．25x＋9y＝1D.＋＝1答案A2．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为()A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1答案C3．在极坐标系中，极坐标为(2，)的点到极点和极轴的距离分别为()A．1，1B．1，2C．2，1D．2，2答案C解析点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点(2，)到极点和极轴的距离分别为2，2sin＝1.4．在极坐标系中，点(2，－)到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为()A．2B.C.D.答案D解析在直角坐标系中，点(2，－)的直角坐标为(1，－)，圆ρ＝－2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为＝.故选D.5．(2017·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为()A．(2，)B．(2，)C．(4，)D．(4，)答案A解析ρ(cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为(2，)，故选A.6．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4答案B解析方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.选项A，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程为y＝2，代入圆的方程，得x2＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项B，直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，代入圆的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，直线l和圆相切，l交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，则有cosθ＝＝，得ρcosθ＝2.7．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于()A.B．2C．2D．4答案B解析化极坐标方程为直角坐标方程得x2＋y2－6x－2y＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2.8．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案(1，0)，(，)解析ρ＝2cosθ表示以点(1，0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1，0)．当θ＝时，ρ＝，故交点的极坐标为(，)．9．(2018·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数a的值为________．答案－5或－1解析将直线ρ(sinθ－cosθ)＝a化为普通方程，得y－x＝a，即x－y＋a＝0，将曲线ρ＝2cosθ－4sinθ的方程化为普通方程，得x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r＝.设圆心到直线AB的距离为d，由勾股定理可得d＝＝＝，而d＝＝＝，所以|a＋3|＝2，解得a＝－5或a＝－1.10．(2017·天津，理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ－)＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．答案2解析依题意，得4ρ(cosθ＋sinθ)＋1＝0，即2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，其圆心(0，1)到直线2x＋2y＋1＝0的距离d＝<1，则直线与圆的公共点的个数是2.11．在极坐标系中，曲线ρ2－10ρcosθ－2ρsinθ＋10＝0与极轴交于M、N两点，则|MN|＝________．答案2解析 M、N两点在极轴上，∴其极角θ＝0°，代入方程中得ρ2－10ρ＋10＝0，∴(ρ－5)2＝15，ρ＝5±，令M、N对应极径为ρM和ρN，则|MN|＝|ρM－ρN|＝2.12．(2018·河北冀州中学月考)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．答案解析直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1，0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝.设所求的弦长为l，则12＝()2＋()2，解得l＝.13．在极坐标系中，设曲线C1：...
