高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

§13.3数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(×)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(×)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(×)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(√)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(√)1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)为________(用式子表示)．答案1＋＋＋＋解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5.2．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝____________________(用式子表示)．答案＋＋＋…＋解析 Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，Sn＝1＋＋＋＋…＋，∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.3．设f(n)＝＋＋…＋，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________(用式子表示)．答案－解析f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋＋－(＋＋…＋)＝＋－＝－.4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是_______________________________________________________________．答案1＋a＋a2解析观察等式左边的特征得到n＝1时的式子.题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．思维点拨n从k变到k＋1，左边增乘了2(2k＋1)．证明①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；②假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对所有n∈N*等式成立．思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k时，等式成立．即＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．即对所有n∈N*，原式都成立．题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥.(1)求a的值；(2)设0