4-4坐标系与参数方程课时作业A组——基础对点练1．(2018·沈阳市模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直线l：(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．解析：(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)两边同乘以ρ得，曲线C：y2＝2ax，由直线l：(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.(2)将代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，由Δ＞0得a＞4，设M(－2＋t1，t1)，N(－2＋t2，t2)，则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a， |PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.2．(2018·长沙市模拟)平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是＋ρ2sin2θ＝1.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．解析：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.(2)将代入＋y2＝1得，t2＋t－1＝0，Δ＝()2－4××(－1)＝16>0.设方程的两根是t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝.3．(2018·太原市模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．解析：(1)由消去参数φ，可得C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4. ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，由得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.(2)由(1)得曲线C1：(x－2)2＋y2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cosθ，由题意设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4|sinα－cosα|＝4|sin(α－)|＝4，∴sin(α－)＝±1，∴α－＝＋kπ(k∈Z)， 0<α<π，∴α＝.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴1的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解析：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝，所以ρ(cosθ－sinθ)＝，即x－y－2＝0.曲线C的参数方程为(α为参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，可得＋＝1.(2)设点P(3cosα，sinα)为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d＝＝，故当cos(α＋)＝－1时，d取得最大值，为.B组——能力提升练1．(2018·南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为(θ为参数)．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若曲线C向左平移一个单位长度，再经过伸缩变换得到曲线C′，设M(x，y)为曲线C′上任意一点，求－xy－y2的最小值，并求相应点M的直角坐标．解析：(1)由(θ为参数)，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(2)曲线C：(x－1)2＋y2＝1，向左平移一个单位长度再经过伸缩变换得到曲线C′的直角坐标方程为＋y2＝1，设M(2cosα，sinα)，则－xy－y2＝cos2α－2sinαcosα－sin2α＝cos2α－sin2α＝2cos(2α＋)，当α＝kπ＋时，－xy－y2的最小值为－2，此时点M的坐标为(1，)或(－1，－)．2．(2018·太原模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1，左焦点F(－2，0)代入直线AB的参数方程，得m＝－2，直线AB的参数方程是(t为参数)代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，所以t1·t2＝－2，所以|FA|·|FB|＝2.(2)椭圆＋＝1的参数方程为根据椭圆和矩形的对称性可设椭圆C的内接矩形的顶点为(2cosθ...
