高中数学探究椭圆中的范围问题刘星红椭圆中的范围问题，是指确定某个变量（如离心率、斜率、截距、点的坐标）的范围，使问题中给定的几何图形具有某种几何性质或满足某种位置（数量）关系。由于这类问题内涵丰富且极具综合性，因而备受命题者的青睐。本文以椭圆为例，对这类问题进行以下探究。一、利用一元二次方程的根的判别式例1.一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆C：交于不同的两点M、N，若线段MN中点的横坐标为，求直线l斜率的取值范围。分析：由题设知直线l的斜率存在且不为零，方程可设为。又MN中点的横坐标为，可利用中点坐标公式及韦达定理建立一个关于k、b的方程；又由直线l与椭圆C有两个相异交点得△>0，由此建立一个关于k、b的不等式，进而探求斜率的范围。解：依题意设代入椭圆方程消去y得∵直线l与椭圆C有两个不同的交点∴①又∵线段MN中点的横坐标为∴②由①②联立得解得（舍去）∴即直线l斜率的取值范围为二、利用图形间的位置关系例2.已知椭圆，问是否存在实数m，使得椭圆上有两个不同的点关于直线l：对称。若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。解：设椭圆上存在两点A（x1，y1）、B（x2、y2），线段AB的中点为，由题意知。又①②①－②得，即又∵点M（x0，y0）在直线l上∴，故点M的坐标为∵点M在椭圆的内部用心爱心专心115号编辑∴解得三.利用某些常见的结论例3.已知椭圆中心是坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，且，求椭圆离心率e的取值范围。解：设椭圆方程为（1）当PQ垂直x轴时，，∵，且∴即解得（2）当PQ不垂直x轴时，设PQ所在直线方程为，代入椭圆方程得。设则∵OP⊥OQ∴即整理得∴解得本题由点F位于椭圆内部及椭圆的有界性可知，△>0只是一个假象，真正的不等式条件却隐匿于等式中，若不明其理，盲目利用△>0，势必陷入烦杂的运算中，以致无果而终；相反，若能利用k2>0这一常见结论，便可轻松建立关于e的不等式，使问题获解。总结与椭圆有关的范围问题具有较强的综合性，解题过程中，要注意多角度、多方位、多层次思考，从中发现奇特、简单的解题方法，这对提高同学们的解题能力是十分有益的。用心爱心专心115号编辑
